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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = 0, 4166666666666667

r=0,4166666666666667

A soma desta sequência é:

s = 170

s=170

A forma geral desta série é:

a_{n} = 120 \cdot 0, 4166666666666667^{n - 1}

a_n=120*0,4166666666666667^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

120, 50, 20, 833333333333336, 8, 680555555555557, 3, 616898148148149, 1, 507040895061729, 0, 6279337062757203, 0, 26163904428155016, 0, 10901626845064591, 0, 045423445187769126

120,50,20,833333333333336,8,680555555555557,3,616898148148149,1,507040895061729,0,6279337062757203,0,26163904428155016,0,10901626845064591,0,045423445187769126

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = \frac{50}{120} = 0, 4166666666666667$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = 0, 4166666666666667$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 120$ , a razão comum: $r = 0, 4166666666666667$ e o número de elementos $n = 2$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{2} = 120 * ((1 - 0, 4166666666666667^{2}) / (1 - 0, 4166666666666667))$

$s_{2} = 120 * ((1 - 0, 17361111111111113) / (1 - 0, 4166666666666667))$

$s_{2} = 120 * (0, 8263888888888888 / (1 - 0, 4166666666666667))$

$s_{2} = 120 * (0, 8263888888888888 / 0, 5833333333333333)$

$s_{2} = 120 \cdot 1, 4166666666666667$

$s_{2} = 170$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 120$ e a razão comum: $r = 0, 4166666666666667$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 120 \cdot 0, 4166666666666667^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 120$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 120 \cdot 0, 4166666666666667^{2 - 1} = 120 \cdot 0, 4166666666666667^{1} = 120 \cdot 0, 4166666666666667 = 50$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 120 \cdot 0, 4166666666666667^{3 - 1} = 120 \cdot 0, 4166666666666667^{2} = 120 \cdot 0, 17361111111111113 = 20, 833333333333336$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 120 \cdot 0, 4166666666666667^{4 - 1} = 120 \cdot 0, 4166666666666667^{3} = 120 \cdot 0, 07233796296296298 = 8, 680555555555557$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 120 \cdot 0, 4166666666666667^{5 - 1} = 120 \cdot 0, 4166666666666667^{4} = 120 \cdot 0, 030140817901234573 = 3, 616898148148149$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 120 \cdot 0, 4166666666666667^{6 - 1} = 120 \cdot 0, 4166666666666667^{5} = 120 \cdot 0, 012558674125514407 = 1, 507040895061729$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 120 \cdot 0, 4166666666666667^{7 - 1} = 120 \cdot 0, 4166666666666667^{6} = 120 \cdot 0, 005232780885631003 = 0, 6279337062757203$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 120 \cdot 0, 4166666666666667^{8 - 1} = 120 \cdot 0, 4166666666666667^{7} = 120 \cdot 0, 0021803253690129178 = 0, 26163904428155016$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 120 \cdot 0, 4166666666666667^{9 - 1} = 120 \cdot 0, 4166666666666667^{8} = 120 \cdot 0, 0009084689037553825 = 0, 10901626845064591$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 120 \cdot 0, 4166666666666667^{10 - 1} = 120 \cdot 0, 4166666666666667^{9} = 120 \cdot 0, 0003785287098980761 = 0, 045423445187769126$

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas