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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = 2, 3333333333333335

r=2,3333333333333335

A soma desta sequência é:

s = 400

s=400

A forma geral desta série é:

a_{n} = 120 \cdot 2, 3333333333333335^{n - 1}

a_n=120*2,3333333333333335^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

120, 280, 653, 3333333333335, 1524, 4444444444448, 3557, 037037037038, 8299, 753086419756, 19366, 09053497943, 45187, 54458161868, 105437, 60402377692, 246021, 07605547947

120,280,653,3333333333335,1524,4444444444448,3557,037037037038,8299,753086419756,19366,09053497943,45187,54458161868,105437,60402377692,246021,07605547947

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = \frac{280}{120} = 2, 3333333333333335$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = 2, 3333333333333335$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 120$ , a razão comum: $r = 2, 3333333333333335$ e o número de elementos $n = 2$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{2} = 120 * ((1 - 2, 3333333333333335^{2}) / (1 - 2, 3333333333333335))$

$s_{2} = 120 * ((1 - 5, 4444444444444455) / (1 - 2, 3333333333333335))$

$s_{2} = 120 * (- 4, 4444444444444455 / (1 - 2, 3333333333333335))$

$s_{2} = 120 * (- 4, 4444444444444455 / - 1, 3333333333333335)$

$s_{2} = 120 \cdot 3, 333333333333334$

$s_{2} = 400, 00000000000006$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 120$ e a razão comum: $r = 2, 3333333333333335$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 120 \cdot 2, 3333333333333335^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 120$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 120 \cdot 2, 3333333333333335^{2 - 1} = 120 \cdot 2, 3333333333333335^{1} = 120 \cdot 2, 3333333333333335 = 280$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 120 \cdot 2, 3333333333333335^{3 - 1} = 120 \cdot 2, 3333333333333335^{2} = 120 \cdot 5, 4444444444444455 = 653, 3333333333335$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 120 \cdot 2, 3333333333333335^{4 - 1} = 120 \cdot 2, 3333333333333335^{3} = 120 \cdot 12, 703703703703706 = 1524, 4444444444448$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 120 \cdot 2, 3333333333333335^{5 - 1} = 120 \cdot 2, 3333333333333335^{4} = 120 \cdot 29, 64197530864198 = 3557, 037037037038$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 120 \cdot 2, 3333333333333335^{6 - 1} = 120 \cdot 2, 3333333333333335^{5} = 120 \cdot 69, 16460905349797 = 8299, 753086419756$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 120 \cdot 2, 3333333333333335^{7 - 1} = 120 \cdot 2, 3333333333333335^{6} = 120 \cdot 161, 38408779149526 = 19366, 09053497943$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 120 \cdot 2, 3333333333333335^{8 - 1} = 120 \cdot 2, 3333333333333335^{7} = 120 \cdot 376, 562871513489 = 45187, 54458161868$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 120 \cdot 2, 3333333333333335^{9 - 1} = 120 \cdot 2, 3333333333333335^{8} = 120 \cdot 878, 6467001981409 = 105437, 60402377692$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 120 \cdot 2, 3333333333333335^{10 - 1} = 120 \cdot 2, 3333333333333335^{9} = 120 \cdot 2050, 175633795662 = 246021, 07605547947$

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas