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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = 0, 8333333333333334

r=0,8333333333333334

A soma desta sequência é:

s = 220

s=220

A forma geral desta série é:

a_{n} = 120 \cdot 0, 8333333333333334^{n - 1}

a_n=120*0,8333333333333334^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

120, 100, 83, 33333333333334, 69, 44444444444446, 57, 87037037037038, 48, 225308641975325, 40, 1877572016461, 33, 48979766803842, 27, 908164723365353, 23, 256803936137793

120,100,83,33333333333334,69,44444444444446,57,87037037037038,48,225308641975325,40,1877572016461,33,48979766803842,27,908164723365353,23,256803936137793

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = \frac{100}{120} = 0, 8333333333333334$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = 0, 8333333333333334$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 120$ , a razão comum: $r = 0, 8333333333333334$ e o número de elementos $n = 2$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{2} = 120 * ((1 - 0, 8333333333333334^{2}) / (1 - 0, 8333333333333334))$

$s_{2} = 120 * ((1 - 0, 6944444444444445) / (1 - 0, 8333333333333334))$

$s_{2} = 120 * (0, 30555555555555547 / (1 - 0, 8333333333333334))$

$s_{2} = 120 * (0, 30555555555555547 / 0, 16666666666666663)$

$s_{2} = 120 \cdot 1, 8333333333333333$

$s_{2} = 220$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 120$ e a razão comum: $r = 0, 8333333333333334$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 120 \cdot 0, 8333333333333334^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 120$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 120 \cdot 0, 8333333333333334^{2 - 1} = 120 \cdot 0, 8333333333333334^{1} = 120 \cdot 0, 8333333333333334 = 100$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 120 \cdot 0, 8333333333333334^{3 - 1} = 120 \cdot 0, 8333333333333334^{2} = 120 \cdot 0, 6944444444444445 = 83, 33333333333334$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 120 \cdot 0, 8333333333333334^{4 - 1} = 120 \cdot 0, 8333333333333334^{3} = 120 \cdot 0, 5787037037037038 = 69, 44444444444446$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 120 \cdot 0, 8333333333333334^{5 - 1} = 120 \cdot 0, 8333333333333334^{4} = 120 \cdot 0, 4822530864197532 = 57, 87037037037038$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 120 \cdot 0, 8333333333333334^{6 - 1} = 120 \cdot 0, 8333333333333334^{5} = 120 \cdot 0, 401877572016461 = 48, 225308641975325$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 120 \cdot 0, 8333333333333334^{7 - 1} = 120 \cdot 0, 8333333333333334^{6} = 120 \cdot 0, 3348979766803842 = 40, 1877572016461$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 120 \cdot 0, 8333333333333334^{8 - 1} = 120 \cdot 0, 8333333333333334^{7} = 120 \cdot 0, 2790816472336535 = 33, 48979766803842$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 120 \cdot 0, 8333333333333334^{9 - 1} = 120 \cdot 0, 8333333333333334^{8} = 120 \cdot 0, 23256803936137793 = 27, 908164723365353$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 120 \cdot 0, 8333333333333334^{10 - 1} = 120 \cdot 0, 8333333333333334^{9} = 120 \cdot 0, 19380669946781495 = 23, 256803936137793$

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas