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Solução - Sequências geométricas

A razão comum é:

r = 3, 3333333333333335

r=3,3333333333333335

A soma desta sequência é:

s = 468

s=468

A forma geral desta série é:

a_{n} = 108 \cdot 3, 3333333333333335^{n - 1}

a_n=108*3,3333333333333335^(n-1)

O enésimo termo desta série é:

108, 360, 1200, 0000000000002, 4000, 000000000001, 13333, 333333333336, 44444, 44444444446, 148148, 14814814818, 493827, 1604938273, 1646090, 5349794244, 5486968, 449931416

108,360,1200,0000000000002,4000,000000000001,13333,333333333336,44444,44444444446,148148,14814814818,493827,1604938273,1646090,5349794244,5486968,449931416

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Encontrar a razão comum

Encontrar a razão comum ao dividir qualquer termo na sequência pelo termo precedente:

$a_{2} a_{1} = \frac{360}{108} = 3, 3333333333333335$

A razão comum ( $r$ ) da sequência é constante e é igual à diferença entre o quociente de dois termos consecutivos.
$r = 3, 3333333333333335$

2. Encontrar a soma

5 passos adicionais

$s_{n} = a * ((1 - r^{n}) / (1 - r))$

Para encontrar a soma da série, introduz o primeiro termo: $a = 108$ , a razão comum: $r = 3, 3333333333333335$ e o número de elementos $n = 2$ na fórmula de soma da série geométrica:

$s_{2} = 108 * ((1 - 3, 3333333333333335^{2}) / (1 - 3, 3333333333333335))$

$s_{2} = 108 * ((1 - 11, 111111111111112) / (1 - 3, 3333333333333335))$

$s_{2} = 108 * (- 10, 111111111111112 / (1 - 3, 3333333333333335))$

$s_{2} = 108 * (- 10, 111111111111112 / - 2, 3333333333333335)$

$s_{2} = 108 \cdot 4, 333333333333334$

$s_{2} = 468, 00000000000006$

3. Encontrar a forma geral

$a_{n} = a \cdot r^{n - 1}$

Para encontrar a forma geral das séries, introduz o primeiro termo: $a = 108$ e a razão comum: $r = 3, 3333333333333335$ na fórmula para séries geométricas:

$a_{n} = 108 \cdot 3, 3333333333333335^{n - 1}$

4. Encontrar o enésimo termo

Utilizar a forma geral para encontrar o enésimo termo

$a_{1} = 108$

$a_{2} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 108 \cdot 3, 3333333333333335^{2 - 1} = 108 \cdot 3, 3333333333333335^{1} = 108 \cdot 3, 3333333333333335 = 360$

$a_{3} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 108 \cdot 3, 3333333333333335^{3 - 1} = 108 \cdot 3, 3333333333333335^{2} = 108 \cdot 11, 111111111111112 = 1200, 0000000000002$

$a_{4} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 108 \cdot 3, 3333333333333335^{4 - 1} = 108 \cdot 3, 3333333333333335^{3} = 108 \cdot 37, 037037037037045 = 4000, 000000000001$

$a_{5} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 108 \cdot 3, 3333333333333335^{5 - 1} = 108 \cdot 3, 3333333333333335^{4} = 108 \cdot 123, 45679012345681 = 13333, 333333333336$

$a_{6} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 108 \cdot 3, 3333333333333335^{6 - 1} = 108 \cdot 3, 3333333333333335^{5} = 108 \cdot 411, 5226337448561 = 44444, 44444444446$

$a_{7} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 108 \cdot 3, 3333333333333335^{7 - 1} = 108 \cdot 3, 3333333333333335^{6} = 108 \cdot 1371, 7421124828536 = 148148, 14814814818$

$a_{8} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 108 \cdot 3, 3333333333333335^{8 - 1} = 108 \cdot 3, 3333333333333335^{7} = 108 \cdot 4572, 4737082761785 = 493827, 1604938273$

$a_{9} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 108 \cdot 3, 3333333333333335^{9 - 1} = 108 \cdot 3, 3333333333333335^{8} = 108 \cdot 15241, 579027587264 = 1646090, 5349794244$

$a_{10} = a_{1} \cdot r^{n - 1} = 108 \cdot 3, 3333333333333335^{10 - 1} = 108 \cdot 3, 3333333333333335^{9} = 108 \cdot 50805, 26342529088 = 5486968, 449931416$

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Sequências geométricas são comumente usadas para explicar conceitos em matemática, física, engenharia, biologia, economia, ciência da computação, finanças e mais, tornando-as uma ferramenta muito útil para ter em nossas caixas de ferramentas. Uma das aplicações mais comuns de sequências geométricas, por exemplo, é calcular juros compostos ganhos ou não pagos, uma atividade geralmente associada à finanças, que pode significar ganhar ou perder muito dinheiro! Outras aplicações incluem, mas certamente não estão limitadas a, calcular a probabilidade, medir a radioatividade ao longo do tempo e desenhar edifícios.

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Sequências geométricas