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Solução - Sequências aritméticas

A diferença comum é igual a:

45

A soma da sequência é igual a:

225

225

A fórmula explícita desta sequência é:

a_{n} = 30 + (n - 1) \cdot 45

a_n=30+(n-1)*45

A fórmula recursiva desta sequência é:

a_{n} = a_{(n - 1)} + 45

a_n=a_((n-1))+45

Os enésimos termos:

30, 75, 120, 165, 210, 255...

30,75,120,165,210,255...

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Explicação passo a passo

1. Encontrar a diferença comum

Encontrar a diferença comum ao subtrair qualquer termo na sequência do termo que vem depois.

$a_{2} - a_{1} = 75 - 30 = 45$

$a_{3} - a_{2} = 120 - 75 = 45$

A diferença da sequência é constante e é igual à diferença entre dois termos consecutivos.
$d = 45$

2. Encontrar a soma

Calcular a soma da sequência utilizando a fórmula de soma.

$S o m a = (n (a_{1} + a n)) / 2$

$S u m = (n * (a_{1} + a_{n})) / 2$

Ligar os termos.

$S u m = (3 * (a_{1} + a_{n})) / 2$

$S u m = (3 * (30 + a_{n})) / 2$

$S u m = (3 * (30 + 120)) / 2$

Simplificar a expressão.

$S u m = (3 * (30 + 120)) / 2$

$S u m = (3 * 150) / 2$

$S u m = \frac{450}{2}$

$S u m = 225$

A soma desta sequência é $225$ .

Esta série corresponde à seguinte linha reta $y = 45 x + 30$

3. Encontrar a forma explícita

A fórmula para expressar sequências aritméticas na sua forma explícita é:
$a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d$

Introduz os termos.
$a_{1} = 30$ (este é o primeiro termo)
$d = 45$ (esta é a diferença comum)
$a_{n}$ (este é o enésimo termo)
$n$ (esta é a posição do termo)

A forma explícita desta sequência aritmética é:

$a_{n} = 30 + (n - 1) \cdot 45$

4. Encontrar a forma recursiva

A fórmula para expressar sequências aritméticas na sua forma recursiva é:
$a_{n} = a_{(1 - n)} + d$

Introduz o termo d.
$d = 45$ (esta é a diferença comum)

A forma recursiva desta sequência aritmética é:

$a_{n} = a_{(n - 1)} + 45$

5. Encontrar o enésimo elemento

$a_{1} = a_{1} + (n - 1) \cdot d = 30 + (1 - 1) \cdot 45 = 30$

$a_{2} = a_{1} + (n - 1) \cdot d = 30 + (2 - 1) \cdot 45 = 75$

$a_{3} = a_{1} + (n - 1) \cdot d = 30 + (3 - 1) \cdot 45 = 120$

$a_{4} = a_{1} + (n - 1) \cdot d = 30 + (4 - 1) \cdot 45 = 165$

$a_{5} = a_{1} + (n - 1) \cdot d = 30 + (5 - 1) \cdot 45 = 210$

$a_{6} = a_{1} + (n - 1) \cdot d = 30 + (6 - 1) \cdot 45 = 255$

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Quando irá chegar o próximo autocarro? Quantas pessoas cabem num estádio? Quanto dinheiro irei ganhar este ano? Todas estas perguntas podem ser respondidas ao aprender o funcionamento das sequências aritméticas. O decorrer do tempo, os padrões triangulares (pinos de bowling, por exemplo) e aumentos e reduções em quantidade podem todos ser expressos como sequências aritméticas.

Termos e tópicos

Sequência aritmética