Solução - Propriedades das elipses

$$a$$ representa o raio mais longo da elipse, que é igual à metade do eixo maior. Isso é chamado de semi-eixo maior.
Para encontrar o valor de $$a$$, use a forma padrão da elipse horizontal:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{{\left(x-7\right)}^2}{64}+\frac{{\left(y+2\right)}^2}{25}=1$$
$$a^2=64$$
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados da equação:
$$a=8$$

Porque $$a$$ representa uma distância, ele só tem um valor positivo.

Em uma elipse horizontal, o eixo maior corre paralelo ao eixo x e passa pelos vértices da elipse. Encontre os vértices adicionando e subtraindo $$a$$ da coordenada x $$\left(h\right)$$ do centro.

Para encontrar o vértice_1, adicionamos $$a$$ à coordenada x $$\left(h\right)$$ do centro:
Vértice_1: $$\left(h+a,k\right)$$
Centro: $$\left(h,k\right)=\left(7,-2\right)$$
$$h=7$$
$$k=-2$$
$$a=8$$
Vértice_1: $$\left(7+8,-2\right)$$
Vértice_1: $$\left(15;-2\right)$$

Para encontrar o vértice_2, subtraímos $$a$$ da coordenada x ($$h$$) do centro:
Vértice_2: $$\left(h-a,k\right)$$
Centro: $$\left(h,k\right)=\left(7,-2\right)$$
$$h=7$$
$$k=-2$$
$$a=8$$
Vértice_2: $$\left(7-8,-2\right)$$
Vértice_2: $$\left(-1;-2\right)$$

$$b$$ representa o raio mais curto da elipse, que é igual à metade do eixo menor. Isso é chamado de semi-eixo menor.
Para encontrar o valor de $$b$$, use a forma padrão da elipse horizontal:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

$$\frac{{\left(x-7\right)}^2}{64}+\frac{{\left(y+2\right)}^2}{25}=1$$
$$b^2=25$$
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados da equação:
$$b=5$$
Porque b representa uma distância, ele só tem um valor positivo.

Em uma elipse horizontal, o eixo menor corre paralelo ao eixo y e passa pelos co-vértices da elipse.
Encontre os co-vértices adicionando e subtraindo $$b$$ da coordenada y $$\left(k\right)$$ do centro.

Para encontrar o co-vértice_1, adicione $$b$$ à coordenada y $$\left(k\right)$$ do centro:
Co-vértice_1: $$\left(h,k+b\right)$$
Centro: $$\left(h,k\right)=\left(7;-2\right)$$
$$h=7$$
$$k=-2$$
$$b=5$$
Co-vértice_1: $$\left(7,-2+5\right)$$
Co-vértice_1: $$\left(7;3\right)$$

Para encontrar co-vértice_2, subtraia $$b$$ da coordenada y $$\left(k\right)$$ do centro:
Co-vértice_2: $$\left(h,k-b\right)$$
Centro: $$\left(h,k\right)=\left(7;-2\right)$$
$$h=7$$
$$k=-2$$
$$b=5$$
Co-vértice_2: $$\left(7,-2-5\right)$$
Co-vértice_2: $$\left(7;-7\right)$$

A distância focal é a distância do centro da elipse para cada ponto focal e é geralmente representada por $$f$$.

Para encontrar $$f$$, use a fórmula:
$$f=\sqrt{a^2-b^2}$$
$$a^2=64$$
$$b^2=25$$
Insira $$a^2$$ e $$b^2$$ na fórmula e simplifique:

$$f=\sqrt{64-25}$$

$$f=\sqrt{39}$$

$$f=6,245$$

Porque $$f$$ representa uma distância, ele só tem um valor positivo.

Em uma elipse horizontal, o eixo maior corre paralelo ao eixo x e passa pelos focos.
Encontre os focos adicionando e subtraindo $$f$$ da coordenada x $$\left(h\right)$$ do centro.

Para encontrar o foco_1, adicione $$f$$ à coordenada x $$\left(h\right)$$ do centro:
Foco_1: $$\left(h+f,k\right)$$
Centro: $$\left(h,k\right)=\left(7;-2\right)$$
$$h=7$$
$$k=-2$$
$$f=6,245$$
Foco_1: $$\left(7+6,245,-2\right)$$
Foco_1: $$\left(13,245;-2\right)$$

Para encontrar o foco_2, subtract $$f$$ da coordenada x $$\left(h\right)$$ do centro:
Foco_2: $$\left(h-f,k\right)$$
Centro: $$\left(h,k\right)=\left(7;-2\right)$$
$$h=7$$
$$k=-2$$
$$f=6,245$$
Foco_2: $$\left(7-6,245,-2\right)$$
Foco_2: $$\left(0,755;-2\right)$$

Use a fórmula para a área de uma elipse para encontrar a área da elipse:
$$\pi ·a·b$$
$$a=8$$
$$b=5$$
Insira $$a$$ e $$b$$ na fórmula e simplifique:

$$\pi ·8·5$$

$$\pi ·40$$

A área é igual a $$40\pi$$

Para descobrir a(s) intercepção(ões) x, coloque $$0$$ para $$y$$ na equação padrão da elipse e resolva a equação quadrática resultante para $$x$$.
Clique aqui para uma explicação passo a passo da equação quadrática.

$$\frac{{\left(x-7\right)}^2}{64}+\frac{{\left(y+2\right)}^2}{25}=1$$

$$\frac{{\left(x-7\right)}^2}{64}+\frac{{\left(0+2\right)}^2}{25}=1$$

$$x_1=14,332$$

$$x_2=-0,332$$

Para descobrir a(s) intercepção(ões) y, coloque $$0$$ para $$x$$ na equação padrão da elipse e resolva a equação quadrática resultante para $$y$$.
Clique aqui para uma explicação passo a passo da equação quadrática.

$$\frac{{\left(x-7\right)}^2}{64}+\frac{{\left(y+2\right)}^2}{25}=1$$

$$\frac{{\left(0-7\right)}^2}{64}+\frac{{\left(y+2\right)}^2}{25}=1$$

$$y_1=0,421$$

$$y_2=-4,421$$

Para encontrar a excentricidade use a fórmula:
$$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$
$$a^2=64$$
$$b^2=25$$
$$a=8$$
Insira $$a^2$$ , $$b^2$$ e $$a$$ na fórmula:

$$\frac{\sqrt{64-25}}{8}$$

$$\frac{\sqrt{39}}{8}$$

$$\frac{6,245}{8}$$

$$0,781$$

A excentricidade é igual a $$0,781$$