Solução - Propriedades das elipses

$$a$$ representa o raio mais longo da elipse, que é igual à metade do eixo maior.
Isto é chamado de semi-eixo maior.
Para encontrar o valor de $$a$$, use a forma padrão de elipse vertical:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{{\left(x-3\right)}^2}{16}+\frac{{\left(y+1\right)}^2}{64}=1$$
$$a^2=64$$
Tome a raiz quadrada de ambos os lados da equação:
$$a=8$$

Porque $$a$$ representa uma distância, ele só tem um valor positivo.

Em uma elipse vertical, o eixo maior corre paralelo ao eixo y e passa pelos vértices da elipse. Encontre os vértices adicionando e subtraindo $$a$$ da coordenada y ($$k$$) do centro.

Para encontrar o vértice_1, adicione $$a$$ à coordenada y ($$k$$) do centro:
Vértice_1: $$\left(h,k+a\right)$$
Centro: $$\left(h,k\right)=\left(3,-1\right)$$
$$h=3$$
$$k=-1$$
$$a=8$$
Vértice_1: $$\left(3,-1+8\right)$$
Vértice_1: $$\left(3;7\right)$$

Para encontrar o vértice_2, subtraia $$a$$ da coordenada y ($$k$$) do centro:
Vértice_2: $$\left(h,k-a\right)$$
Centro: $$\left(h,k\right)=\left(3;-1\right)$$
$$h=3$$
$$k=-1$$
$$a=8$$
Vértice_2: $$\left(3,-1-8\right)$$
Vértice_2: $$\left(3;-9\right)$$

$$b$$ representa o raio menor da elipse, que é igual à metade do eixo menor. Isso é chamado de semi-eixo menor.
Para encontrar o valor de $$b$$, use a forma padrão da elipse vertical:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{{\left(x-3\right)}^2}{16}+\frac{{\left(y+1\right)}^2}{64}=1$$
$$b^2=16$$
Pegue a raiz quadrada de ambos os lados da equação:
$$b=4$$
Como b representa uma distância, ele só tem um valor positivo.

Em uma elipse vertical, o eixo menor corre paralelo ao eixo x e passa pelos co-vértices da elipse.
Encontre os co-vértices adicionando e subtraindo $$b$$ do x-coordenada ($$h$$) do centro.

Para encontrar co-vertice_1, adicione $$b$$ ao x-coordenada ($$h$$) do centro:
Co-vertice_1: $$\left(h+b,k\right)$$
Centro: $$\left(h,k\right)=\left(3;-1\right)$$
$$h=3$$
$$k=-1$$
$$b=4$$
Co-vertice_1: $$\left(3+4,-1\right)$$
Co-vertice_1: $$\left(7;-1\right)$$

Para encontrar co-vertice_2, subtraia $$b$$ do x-coordenada ($$h$$) do centro:
Co-vertice_2: $$\left(h-b,k\right)$$
Centro: $$\left(h,k\right)=\left(3;-1\right)$$
$$h=3$$
$$k=-1$$
$$b=4$$
Co-vertice_2: $$\left(3-4,-1\right)$$
Co-vertice_2: $$\left(-1;-1\right)$$

Comprimento focal é a distância do centro da elipse até cada ponto focal e é geralmente representado por $$f$$.

Para encontrar $$f$$, use a fórmula:
$$f=\sqrt{a^2-b^2}$$
$$a^2=64$$
$$b^2=16$$
Insira $$a^2$$ e $$b^2$$ na fórmula e simplifique:

$$f=\sqrt{64-16}$$

$$f=\sqrt{48}$$

$$f=6,928$$

Porque $$f$$ representa uma distância, ele só tem um valor positivo.

Em uma elipse vertical, o eixo maior corre paralelo ao eixo y e passa pelos focos.
Encontre os focos adicionando e subtraindo $$f$$ da y-coordenada $$\left(k\right)$$ do centro.

Para encontrar o foco_1, adicionamos $$f$$ à coordenada y $$\left(k\right)$$ do centro:
Foco_1: $$\left(h,k+f\right)$$
Centro: $$\left(h,k\right)=\left(3;-1\right)$$
$$h=3$$
$$k=-1$$
$$f=6,928$$
Foco_1: $$\left(3,-1+6,928\right)$$
Foco_1: $$\left(3;5,928\right)$$

Para encontrar o foco_2, subtraímos $$f$$ da coordenada y $$\left(k\right)$$ do centro:
Foco_2: $$\left(h,k-f\right)$$
Centro: $$\left(h,k\right)=\left(3;-1\right)$$
$$h=3$$
$$k=-1$$
$$f=6,928$$
Foco_2: $$\left(3,-1-6,928\right)$$
Foco_2: $$\left(3;-7,928\right)$$

Use a fórmula para a área de uma elipse para encontrar a área da elipse:
$$\pi ·a·b$$
$$a=8$$
$$b=4$$
Insira $$a$$ e $$b$$ na fórmula e simplifique:

$$\pi ·8·4$$

$$\pi ·32$$

A área é igual a $$32\pi$$

Para descobrir a(s) intercepção(ões) x, coloque $$0$$ para $$y$$ na equação padrão da elipse e resolva a equação quadrática resultante para $$x$$.
Clique aqui para uma explicação passo a passo da equação quadrática.

$$\frac{{\left(x-3\right)}^2}{16}+\frac{{\left(y+1\right)}^2}{64}=1$$

$$\frac{{\left(x-3\right)}^2}{16}+\frac{{\left(0+1\right)}^2}{64}=1$$

$$x_1=6,969$$

$$x_2=-0,969$$

Para descobrir a(s) intercepção(ões) y, coloque $$0$$ para $$x$$ na equação padrão da elipse e resolva a equação quadrática resultante para $$y$$.
Clique aqui para uma explicação passo a passo da equação quadrática.

$$\frac{{\left(x-3\right)}^2}{16}+\frac{{\left(y+1\right)}^2}{64}=1$$

$$\frac{{\left(0-3\right)}^2}{16}+\frac{{\left(y+1\right)}^2}{64}=1$$

$$y_1=4,292$$

$$y_2=-6,292$$

Para encontrar a excentricidade use a fórmula:
$$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$
$$a^2=64$$
$$b^2=16$$
$$a=8$$
Insira $$a^2$$ , $$b^2$$ e $$a$$ na fórmula:

$$\frac{\sqrt{64-16}}{8}$$

$$\frac{\sqrt{48}}{8}$$

$$\frac{6,928}{8}$$

$$0,866$$

A excentricidade é igual a $$0,866$$