Solução - Propriedades das elipses

$$a$$ representa o raio mais longo da elipse, que é igual à metade do eixo maior.
Isto é chamado de semi-eixo maior.
Para encontrar o valor de $$a$$, use a forma padrão de elipse vertical:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{{\left(x-2\right)}^2}{4}+\frac{{\left(y+5\right)}^2}{9}=1$$
$$a^2=9$$
Tome a raiz quadrada de ambos os lados da equação:
$$a=3$$

Porque $$a$$ representa uma distância, ele só tem um valor positivo.

Em uma elipse vertical, o eixo maior corre paralelo ao eixo y e passa pelos vértices da elipse. Encontre os vértices adicionando e subtraindo $$a$$ da coordenada y ($$k$$) do centro.

Para encontrar o vértice_1, adicione $$a$$ à coordenada y ($$k$$) do centro:
Vértice_1: $$\left(h,k+a\right)$$
Centro: $$\left(h,k\right)=\left(2,-5\right)$$
$$h=2$$
$$k=-5$$
$$a=3$$
Vértice_1: $$\left(2,-5+3\right)$$
Vértice_1: $$\left(2;-2\right)$$

Para encontrar o vértice_2, subtraia $$a$$ da coordenada y ($$k$$) do centro:
Vértice_2: $$\left(h,k-a\right)$$
Centro: $$\left(h,k\right)=\left(2;-5\right)$$
$$h=2$$
$$k=-5$$
$$a=3$$
Vértice_2: $$\left(2,-5-3\right)$$
Vértice_2: $$\left(2;-8\right)$$

$$b$$ representa o raio menor da elipse, que é igual à metade do eixo menor. Isso é chamado de semi-eixo menor.
Para encontrar o valor de $$b$$, use a forma padrão da elipse vertical:
$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}=1$$

$$\frac{{\left(x-2\right)}^2}{4}+\frac{{\left(y+5\right)}^2}{9}=1$$
$$b^2=4$$
Pegue a raiz quadrada de ambos os lados da equação:
$$b=2$$
Como b representa uma distância, ele só tem um valor positivo.

Em uma elipse vertical, o eixo menor corre paralelo ao eixo x e passa pelos co-vértices da elipse.
Encontre os co-vértices adicionando e subtraindo $$b$$ do x-coordenada ($$h$$) do centro.

Para encontrar co-vertice_1, adicione $$b$$ ao x-coordenada ($$h$$) do centro:
Co-vertice_1: $$\left(h+b,k\right)$$
Centro: $$\left(h,k\right)=\left(2;-5\right)$$
$$h=2$$
$$k=-5$$
$$b=2$$
Co-vertice_1: $$\left(2+2,-5\right)$$
Co-vertice_1: $$\left(4;-5\right)$$

Para encontrar co-vertice_2, subtraia $$b$$ do x-coordenada ($$h$$) do centro:
Co-vertice_2: $$\left(h-b,k\right)$$
Centro: $$\left(h,k\right)=\left(2;-5\right)$$
$$h=2$$
$$k=-5$$
$$b=2$$
Co-vertice_2: $$\left(2-2,-5\right)$$
Co-vertice_2: $$\left(0;-5\right)$$

Comprimento focal é a distância do centro da elipse até cada ponto focal e é geralmente representado por $$f$$.

Para encontrar $$f$$, use a fórmula:
$$f=\sqrt{a^2-b^2}$$
$$a^2=9$$
$$b^2=4$$
Insira $$a^2$$ e $$b^2$$ na fórmula e simplifique:

$$f=\sqrt{9-4}$$

$$f=\sqrt{5}$$

$$f=2,236$$

Porque $$f$$ representa uma distância, ele só tem um valor positivo.

Em uma elipse vertical, o eixo maior corre paralelo ao eixo y e passa pelos focos.
Encontre os focos adicionando e subtraindo $$f$$ da y-coordenada $$\left(k\right)$$ do centro.

Para encontrar o foco_1, adicionamos $$f$$ à coordenada y $$\left(k\right)$$ do centro:
Foco_1: $$\left(h,k+f\right)$$
Centro: $$\left(h,k\right)=\left(2;-5\right)$$
$$h=2$$
$$k=-5$$
$$f=2,236$$
Foco_1: $$\left(2,-5+2,236\right)$$
Foco_1: $$\left(2;-2,764\right)$$

Para encontrar o foco_2, subtraímos $$f$$ da coordenada y $$\left(k\right)$$ do centro:
Foco_2: $$\left(h,k-f\right)$$
Centro: $$\left(h,k\right)=\left(2;-5\right)$$
$$h=2$$
$$k=-5$$
$$f=2,236$$
Foco_2: $$\left(2,-5-2,236\right)$$
Foco_2: $$\left(2;-7,236\right)$$

Use a fórmula para a área de uma elipse para encontrar a área da elipse:
$$\pi ·a·b$$
$$a=3$$
$$b=2$$
Insira $$a$$ e $$b$$ na fórmula e simplifique:

$$\pi ·3·2$$

$$\pi ·6$$

A área é igual a $$6\pi$$

Para descobrir a(s) intercepção(ões) x, coloque $$0$$ para $$y$$ na equação padrão da elipse e resolva a equação quadrática resultante para $$x$$.
Clique aqui para uma explicação passo a passo da equação quadrática.

$$\frac{{\left(x-2\right)}^2}{4}+\frac{{\left(y+5\right)}^2}{9}=1$$

$$\frac{{\left(x-2\right)}^2}{4}+\frac{{\left(0+5\right)}^2}{9}=1$$

$$\sqrt{-}\frac{16}{9}$$

Para descobrir a(s) intercepção(ões) y, coloque $$0$$ para $$x$$ na equação padrão da elipse e resolva a equação quadrática resultante para $$y$$.
Clique aqui para uma explicação passo a passo da equação quadrática.

$$\frac{{\left(x-2\right)}^2}{4}+\frac{{\left(y+5\right)}^2}{9}=1$$

$$\frac{{\left(0-2\right)}^2}{4}+\frac{{\left(y+5\right)}^2}{9}=1$$

$$y_1=-5$$

Para encontrar a excentricidade use a fórmula:
$$\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$$
$$a^2=9$$
$$b^2=4$$
$$a=3$$
Insira $$a^2$$ , $$b^2$$ e $$a$$ na fórmula:

$$\frac{\sqrt{9-4}}{3}$$

$$\frac{\sqrt{5}}{3}$$

$$\frac{2,236}{3}$$

$$0,745$$

A excentricidade é igual a $$0,745$$