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Solução - Resolvendo equações do segundo grau completando o quadrado

Forma exata:

a_{1} = - \frac{21}{32} + \frac{\sqrt{249}}{32}

a_1=-\frac{21}{32}+\frac{\sqrt{249}}{32}

a_{2} = - \frac{21}{32} - \frac{\sqrt{249}}{32}

a_2=-\frac{21}{32}-\frac{\sqrt{249}}{32}

Forma decimal:

a_{1} = - 0, 163

a_1=-0,163

a_{2} = - 1, 149

a_2=-1,149

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Mova todos os termos para o lado esquerdo da equação

$16 a^{2} + 21 a + 9 = 6$

Subtrair -6 de ambos os lados:

$16 a^{2} + 21 a + 9 - 6 = 6 - 6$

Simplificar a expressão

$16 a^{2} + 21 a + 3 = 0$

2. Identifique os coeficientes

Use a forma padrão de uma equação quadrática, $a x^{2} + b x + c = 0$ , para encontrar os coeficientes:

$16 a^{2} + 21 a + 3 = 0$

$a = 16$
$b = 21$
$c = 3$

3. Faça o coeficiente a igual a 1

Porque $a = 16$ , divida todos os coeficientes e constantes em ambos os lados da equação por $16$ :

$16 a^{2} + 21 a + 3 = 0$

$\frac{16}{16} a^{2} + 21 \frac{a}{16} + \frac{3}{16} = \frac{0}{16}$

Simplificar a expressão

$a^{2} + \frac{21}{16} a + \frac{3}{16} = 0$

Os coeficientes são:
$a = 1$
$b = \frac{21}{16}$
$c = \frac{3}{16}$

4. Mova a constante para o lado direito da equação e combine

Adicione $\frac{3}{16}$ a ambos os lados da equação:

$a^{2} + \frac{21}{16} a + \frac{3}{16} = 0$

$a^{2} + \frac{21}{16} a + \frac{3}{16} - \frac{3}{16} = 0 - \frac{3}{16}$

$a^{2} + \frac{21}{16} a = - \frac{3}{16}$

5. Complete o quadrado

Para tornar o lado esquerdo da equação em um trinômio quadrado perfeito, adicione uma nova constante igual a ${(\frac{b}{2})}^{2}$ na equação:

$b = \frac{21}{16}$

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{\frac{21}{16}}{2})}^{2}$

Use a regra da fração dos expoentes ${(\frac{x}{y})}^{2} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$

${(\frac{\frac{21}{16}}{2})}^{2} = \frac{{(\frac{21}{16})}^{2}}{2^{2}}$

$\frac{{(\frac{21}{16})}^{2}}{2^{2}} = \frac{\frac{441}{256}}{4}$

$\frac{\frac{441}{256}}{4} = \frac{441}{256} \cdot \frac{1}{4}$

$\frac{441}{256} \cdot \frac{1}{4} = \frac{441}{1024}$

Adicione $\frac{441}{1024}$ a ambos os lados da equação:

5 passos adicionais

$a^{2} + \frac{21}{16} a = - \frac{3}{16}$

$a^{2} + \frac{21}{16} a + \frac{441}{1024} = - \frac{3}{16} + \frac{441}{1024}$

Encontrar o denominador mínimo comum:

$a^{2} + \frac{21}{16} a + \frac{441}{1024} = \frac{(- 3 \cdot 64)}{(16 \cdot 64)} + \frac{441}{1024}$

Multiplicar os denominadores:

$a^{2} + \frac{21}{16} a + \frac{441}{1024} = \frac{(- 3 \cdot 64)}{1024} + \frac{441}{1024}$

Multiplicar os numeradores:

$a^{2} + \frac{21}{16} a + \frac{441}{1024} = \frac{- 192}{1024} + \frac{441}{1024}$

Combinar as frações:

$a^{2} + \frac{21}{16} a + \frac{441}{1024} = \frac{(- 192 + 441)}{1024}$

Combinar os numeradores:

$a^{2} + \frac{21}{16} a + \frac{441}{1024} = \frac{249}{1024}$

Agora temos trinômio quadrado perfeito, podemos escrevê-lo como uma forma quadrada perfeita adicionando a metade do coeficiente $b$ , $\frac{b}{2}$ :
$b = \frac{21}{16}$

2 passos adicionais

$\frac{b}{2} = \frac{\frac{21}{16}}{2}$

Simplificar a divisão:

$\frac{b}{2} = \frac{21}{(16 \cdot 2)}$

Simplificar a expressão aritmética:

$\frac{b}{2} = \frac{21}{32}$

$a^{2} + \frac{21}{16} a + \frac{441}{1024} = \frac{249}{1024}$

${(a + \frac{21}{32})}^{2} = \frac{249}{1024}$

6. Resolva para $x$

Tire a raiz quadrada de ambos os lados da equação: IMPORTANTE: Ao encontrar a raiz quadrada de uma constante, obtemos duas soluções: positiva e negativa

${(a + \frac{21}{32})}^{2} = \frac{249}{1024}$

$\sqrt{{(a + \frac{21}{32})}^{2}} = \sqrt{\frac{249}{1024}}$

Cancele o quadrado e a raiz quadrada no lado esquerdo da equação:

$a + \frac{21}{32} = \pm \sqrt{\frac{249}{1024}}$

Subtrair \frac{21}{32} de ambos os lados

$a + \frac{21}{32} - \frac{21}{32} = - \frac{21}{32} \pm \sqrt{\frac{249}{1024}}$

Simplificar o lado esquerdo

$a = - \frac{21}{32} \pm \sqrt{\frac{249}{1024}}$

$a = - \frac{21}{32} \pm \frac{\sqrt{249}}{\sqrt{1024}}$

$a = - \frac{21}{32} \pm \frac{\sqrt{249}}{32}$

$a_{1} = - \frac{21}{32} + \frac{\sqrt{249}}{32}$
$a_{2} = - \frac{21}{32} - \frac{\sqrt{249}}{32}$

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Em sua função mais básica, as equações quadráticas definem formas como círculos, elipses e parábolas. Essas formas podem, por sua vez, ser usadas para prever a curva de um objeto em movimento, como uma bola chutada por um jogador de futebol ou disparada de um canhão.
Quando se trata do movimento de um objeto pelo espaço, que melhor lugar para começar do que o próprio espaço, com a revolução dos planetas ao redor do sol em nosso sistema solar. A equação quadrática foi usada para estabelecer que as órbitas dos planetas são elípticas, não circulares. Determinar o caminho e a velocidade que um objeto percorre através do espaço é possível mesmo após ele ter parado: a equação quadrática pode calcular a que velocidade um veículo estava se movendo quando colidiu. Com informações como essa, a indústria automobilística pode projetar freios para prevenir colisões no futuro. Muitas indústrias usam a equação quadrática para prever e, assim, melhorar a vida útil e a segurança de seus produtos.

Termos e tópicos

Resolver equações quadráticas ao completar o quadrado