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|abs|

( )

$fraction$

abc

␣

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Solução:

- 10 < z < - 2

-10<z<-2

Notação de intervalo:

z \in (- 10; - 2)

z∈(-10;-2)

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Simplificar a desigualdade quadrática na sua forma padrão

$a z^{2} + b z + c < 0$

Adicionar $- 20$ a ambos os lados da equação.

$z^{2} + 12 z < - 20$

Adicionar $- 20$ a ambos os lados da equação.

$z^{2} + 12 z + 20 < - 20 + 20$

Simplificar a expressão

$z^{2} + 12 z + 20 < 0$

2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $z^{2} + 12 z + 20 < 0$ , são:

$a$ = 1

$b$ = 12

$c$ = 20

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $a z^{2} + b z + c < 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$z = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = 1$
$b = 12$
$c = 20$

$z = (- 12 \pm s q r t (12^{2} - 4 * 1 * 20)) / (2 * 1)$

Simplificar expoentes e raízes quadradas

$z = (- 12 \pm s q r t (144 - 4 * 1 * 20)) / (2 * 1)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$z = (- 12 \pm s q r t (144 - 4 * 20)) / (2 * 1)$

$z = (- 12 \pm s q r t (144 - 80)) / (2 * 1)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$z = (- 12 \pm s q r t (64)) / (2 * 1)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$z = (- 12 \pm s q r t (64)) / (2)$

para obter o resultado:

$z = (- 12 \pm s q r t (64)) / 2$

4. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(64)}$

Simplificar $64$ ao encontrar os fatores primos:

Vista em árvore dos fatores primos de <math>64</math>:

A fatoração prima de $64$ é $2^{6}$

Escrever os fatores primos:

$\sqrt{64} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}$

Agrupar os fatores primos em pares e reescrevê-los sob a forma de expoente:

$\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} = \sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 2^{2}}$

Utilizar a regra $\sqrt{(x^{2})} = x$ para simplificar ainda mais:

$\sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 2^{2}} = 2 \cdot 2 \cdot 2$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$2 \cdot 2 \cdot 2 = 4 \cdot 2$

$4 \cdot 2 = 8$

5. Resolver a equação para z

$z = (- 12 \pm 8) / 2$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $z_{1} = (- 12 + 8) / 2$ e $z_{2} = (- 12 - 8) / 2$

$z_{1} = (- 12 + 8) / 2$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$z_{1} = (- 12 + 8) / 2$

$z_{1} = (- 4) / 2$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$z_{1} = - \frac{4}{2}$

$z_{1} = - 2$

$z_{2} = (- 12 - 8) / 2$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$z_{2} = (- 12 - 8) / 2$

$z_{2} = (- 20) / 2$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$z_{2} = - \frac{20}{2}$

$z_{2} = - 10$

6. Encontrar os intervalos

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -10, -2.

Uma vez que o coeficiente $a$ é positivo ( $a$ =1), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

7. Escolher o intervalo correto (solução)

Uma vez que $z^{2} + 12 z + 20 < 0$ tem um sinal de desigualdade $<$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução:

Notação de intervalo:

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.

Termos e tópicos

Desigualdades quadráticas

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Explicação passo a passo

1. Simplificar a desigualdade quadrática na sua forma padrão

2. Determinar os coeficientes a, b e c da desigualdade quadrática

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

4. Simplificar a raiz quadrada (64)

5. Resolver a equação para z

6. Encontrar os intervalos

7. Escolher o intervalo correto (solução)

Porque aprender isto

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