Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{y}^2+by+c\le 0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$y=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$y=\left(-4\pm sqrt\left(4^2-4*1*-15\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$y=\left(-4\pm sqrt\left(16-4*1*-15\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$y=\left(-4\pm sqrt\left(16-4*-15\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$y=\left(-4\pm sqrt\left(16--60\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$y=\left(-4\pm sqrt\left(16+60\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$y=\left(-4\pm sqrt\left(76\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$y=\left(-4\pm sqrt\left(76\right)\right)/\left(2\right)$$

para obter o resultado:

$$y=\left(-4\pm sqrt\left(76\right)\right)/2$$

Simplificar $$76$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$76$$ é $$2^2\cdot 19$$

$$y=\left(-4\pm 2*sqrt\left(19\right)\right)/2$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$y_1=\left(-4+2*sqrt\left(19\right)\right)/2$$ e $$y_2=\left(-4-2*sqrt\left(19\right)\right)/2$$

$$y_1=\left(-4+2*sqrt\left(19\right)\right)/2$$

$$y_1=\left(-4+2*sqrt\left(19\right)\right)/2$$

$$y_1=\left(-4+2*4,359\right)/2$$

$$y_1=\left(-4+2*4,359\right)/2$$

$$y_1=\left(-4+8,718\right)/2$$

$$y_1=\left(-4+8,718\right)/2$$

$$y_1=\left(4,718\right)/2$$

$$y_1=4,\frac{718}{2}$$

$$y_1=2,359$$

$$y_2=\left(-4-2*sqrt\left(19\right)\right)/2$$

$$y_2=\left(-4-2*4,359\right)/2$$

$$y_2=\left(-4-2*4,359\right)/2$$

$$y_2=\left(-4-8,718\right)/2$$

$$y_2=\left(-4-8,718\right)/2$$

$$y_2=\left(-12,718\right)/2$$

$$y_2=-12,\frac{718}{2}$$

$$y_2=-6,359$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -6,359, 2,359.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=1), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$y^2+4y-15\le 0$$ tem um sinal de desigualdade $$\le$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$