Introduzir uma equação ou problema

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|abs|

( )

$fraction$

abc

␣

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Solução:

y < - 4 or y > 4

y<-4 or y>4

Notação de intervalo:

y \in (- \infty, - 4) ⋃ (4, \infty)

y∈(-∞,-4)⋃(4,∞)

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Simplificar a expressão

$y^{2} + \frac{1}{y^{2}} y > 15$

Multiplicar as frações:

$y^{2} + \frac{1 y}{y^{2}} > 15$

Simplificar a expressão aritmética:

$y^{2} + y^{- 1} > 15$

Simplificar a desigualdade quadrática na sua forma padrão

$a y^{2} + b y + c > 0$

Subtrair $15$ de ambos os lados da desigualdade:

$y^{2} - 1 > 15$

Subtrair $15$ de ambos os lados:

$y^{2} - 1 - 15 > 15 - 15$

Simplificar a expressão

$y^{2} - 16 > 0$

2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $y^{2} + 0 y - 16 > 0$ , são:

$a$ = 1

$b$ = 0

$c$ = -16

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $a y^{2} + b y + c > 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$y = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = 1$
$b = 0$
$c = - 16$

$y = (- 0 \pm s q r t (0^{2} - 4 * 1 * - 16)) / (2 * 1)$

Simplificar expoentes e raízes quadradas

$y = (- 0 \pm s q r t (0 - 4 * 1 * - 16)) / (2 * 1)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$y = (- 0 \pm s q r t (0 - 4 * - 16)) / (2 * 1)$

$y = (- 0 \pm s q r t (0 - - 64)) / (2 * 1)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$y = (- 0 \pm s q r t (0 + 64)) / (2 * 1)$

$y = (- 0 \pm s q r t (64)) / (2 * 1)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$y = (- 0 \pm s q r t (64)) / (2)$

para obter o resultado:

$y = (- 0 \pm s q r t (64)) / 2$

4. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(64)}$

Simplificar $64$ ao encontrar os fatores primos:

Vista em árvore dos fatores primos de <math>64</math>:

A fatoração prima de $64$ é $2^{6}$

Escrever os fatores primos:

$\sqrt{64} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}$

Agrupar os fatores primos em pares e reescrevê-los sob a forma de expoente:

$\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} = \sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 2^{2}}$

Utilizar a regra $\sqrt{(x^{2})} = x$ para simplificar ainda mais:

$\sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 2^{2}} = 2 \cdot 2 \cdot 2$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$2 \cdot 2 \cdot 2 = 4 \cdot 2$

$4 \cdot 2 = 8$

5. Resolver a equação para y

$y = (- 0 \pm 8) / 2$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $y_{1} = (- 0 + 8) / 2$ e $y_{2} = (- 0 - 8) / 2$

$y_{1} = (- 0 + 8) / 2$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$y_{1} = (- 0 + 8) / 2$

$y_{1} = (8) / 2$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$y_{1} = \frac{8}{2}$

$y_{1} = 4$

$y_{2} = (- 0 - 8) / 2$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$y_{2} = (- 0 - 8) / 2$

$y_{2} = (- 8) / 2$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$y_{2} = - \frac{8}{2}$

$y_{2} = - 4$

6. Encontrar os intervalos

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -4, 4.

Uma vez que o coeficiente $a$ é positivo ( $a$ =1), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

7. Escolher o intervalo correto (solução)

Uma vez que $y^{2} + 0 y - 16 > 0$ tem um sinal de desigualdade $>$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução:

Notação de intervalo:

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.

Termos e tópicos

Desigualdades quadráticas

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Explicação passo a passo

1. Simplificar a expressão

2. Determinar os coeficientes a, b e c da desigualdade quadrática

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

4. Simplificar a raiz quadrada (64)

5. Resolver a equação para y

6. Encontrar os intervalos

7. Escolher o intervalo correto (solução)

Porque aprender isto

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2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

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