Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $$x^2-8x-114<0$$, são:

$$a$$ = 1

$$b$$ = -8

$$c$$ = -114

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-1*-8\pm sqrt\left(-8^2-4*1*-114\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-1*-8\pm sqrt\left(64-4*1*-114\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-1*-8\pm sqrt\left(64-4*-114\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-1*-8\pm sqrt\left(64--456\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-1*-8\pm sqrt\left(64+456\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-1*-8\pm sqrt\left(520\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-1*-8\pm sqrt\left(520\right)\right)/\left(2\right)$$

$$x=\left(8\pm sqrt\left(520\right)\right)/2$$

para obter o resultado:

$$x=\left(8\pm sqrt\left(520\right)\right)/2$$

Simplificar $$520$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$520$$ é $$2^3\cdot 5\cdot 13$$

$$x=\left(8\pm 2*sqrt\left(130\right)\right)/2$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(8+2*sqrt\left(130\right)\right)/2$$ e $$x_2=\left(8-2*sqrt\left(130\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(8+2*sqrt\left(130\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(8+2*sqrt\left(130\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(8+2*11,402\right)/2$$

$$x_1=\left(8+2*11,402\right)/2$$

$$x_1=\left(8+22,804\right)/2$$

$$x_1=\left(8+22,804\right)/2$$

$$x_1=\left(30,804\right)/2$$

$$x_1=30,\frac{804}{2}$$

$$x_1=15,402$$

$$x_2=\left(8-2*sqrt\left(130\right)\right)/2$$

$$x_2=\left(8-2*11,402\right)/2$$

$$x_2=\left(8-2*11,402\right)/2$$

$$x_2=\left(8-22,804\right)/2$$

$$x_2=\left(8-22,804\right)/2$$

$$x_2=\left(-14,804\right)/2$$

$$x_2=-14,\frac{804}{2}$$

$$x_2=-7,402$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -7,402, 15,402.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=1), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$x^2-8x-114<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$