Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-1*-8\pm sqrt\left(-8^2-4*1*2\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-1*-8\pm sqrt\left(64-4*1*2\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-1*-8\pm sqrt\left(64-4*2\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-1*-8\pm sqrt\left(64-8\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-1*-8\pm sqrt\left(56\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-1*-8\pm sqrt\left(56\right)\right)/\left(2\right)$$

$$x=\left(8\pm sqrt\left(56\right)\right)/2$$

para obter o resultado:

$$x=\left(8\pm sqrt\left(56\right)\right)/2$$

Simplificar $$56$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$56$$ é $$2^3\cdot 7$$

$$x=\left(8\pm 2*sqrt\left(14\right)\right)/2$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(8+2*sqrt\left(14\right)\right)/2$$ e $$x_2=\left(8-2*sqrt\left(14\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(8+2*sqrt\left(14\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(8+2*sqrt\left(14\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(8+2*3,742\right)/2$$

$$x_1=\left(8+2*3,742\right)/2$$

$$x_1=\left(8+7,483\right)/2$$

$$x_1=\left(8+7,483\right)/2$$

$$x_1=\left(15,483\right)/2$$

$$x_1=15,\frac{483}{2}$$

$$x_1=7,742$$

$$x_2=\left(8-2*sqrt\left(14\right)\right)/2$$

$$x_2=\left(8-2*sqrt\left(14\right)\right)/2$$

$$x_2=\left(8-2*3,742\right)/2$$

$$x_2=\left(8-2*3,742\right)/2$$

$$x_2=\left(8-7,483\right)/2$$

$$x_2=\left(8-7,483\right)/2$$

$$x_2=\left(0,517\right)/2$$

$$x_2=0,\frac{517}{2}$$

$$x_2=0,258$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: 0,258, 7,742.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=1), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$x^2-8x+2<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$