Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-1*-5\pm sqrt\left(-5^2-4*1*1\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-1*-5\pm sqrt\left(25-4*1*1\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-1*-5\pm sqrt\left(25-4*1\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-1*-5\pm sqrt\left(25-4\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-1*-5\pm sqrt\left(21\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-1*-5\pm sqrt\left(21\right)\right)/\left(2\right)$$

$$x=\left(5\pm sqrt\left(21\right)\right)/2$$

para obter o resultado:

$$x=\left(5\pm sqrt\left(21\right)\right)/2$$

Simplificar $$21$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$21$$ é $$3\cdot 7$$

$$x=\left(5\pm sqrt\left(21\right)\right)/2$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(5+sqrt\left(21\right)\right)/2$$ e $$x_2=\left(5-sqrt\left(21\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(5+sqrt\left(21\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(5+sqrt\left(21\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(5+4,583\right)/2$$

$$x_1=\left(5+4,583\right)/2$$

$$x_1=\left(9,583\right)/2$$

$$x_1=9,\frac{583}{2}$$

$$x_1=4,791$$

$$x_2=\left(5-sqrt\left(21\right)\right)/2$$

$$x_2=\left(5-sqrt\left(21\right)\right)/2$$

$$x_2=\left(5-4,583\right)/2$$

$$x_2=\left(5-4,583\right)/2$$

$$x_2=\left(0,417\right)/2$$

$$x_2=0,\frac{417}{2}$$

$$x_2=0,209$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: 0,209, 4,791.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=1), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$x^2-5x+1<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$