Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-1*-4\pm sqrt\left(-4^2-4*1*-6\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-1*-4\pm sqrt\left(16-4*1*-6\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-1*-4\pm sqrt\left(16-4*-6\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-1*-4\pm sqrt\left(16--24\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-1*-4\pm sqrt\left(16+24\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-1*-4\pm sqrt\left(40\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-1*-4\pm sqrt\left(40\right)\right)/\left(2\right)$$

$$x=\left(4\pm sqrt\left(40\right)\right)/2$$

para obter o resultado:

$$x=\left(4\pm sqrt\left(40\right)\right)/2$$

Simplificar $$40$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$40$$ é $$2^3\cdot 5$$

$$x=\left(4\pm 2*sqrt\left(10\right)\right)/2$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(4+2*sqrt\left(10\right)\right)/2$$ e $$x_2=\left(4-2*sqrt\left(10\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(4+2*sqrt\left(10\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(4+2*sqrt\left(10\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(4+2*3,162\right)/2$$

$$x_1=\left(4+2*3,162\right)/2$$

$$x_1=\left(4+6,325\right)/2$$

$$x_1=\left(4+6,325\right)/2$$

$$x_1=\left(10,325\right)/2$$

$$x_1=10,\frac{325}{2}$$

$$x_1=5,162$$

$$x_2=\left(4-2*sqrt\left(10\right)\right)/2$$

$$x_2=\left(4-2*3,162\right)/2$$

$$x_2=\left(4-2*3,162\right)/2$$

$$x_2=\left(4-6,325\right)/2$$

$$x_2=\left(4-6,325\right)/2$$

$$x_2=\left(-2,325\right)/2$$

$$x_2=-2,\frac{325}{2}$$

$$x_2=-1,162$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -1,162, 5,162.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=1), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$x^2-4x-6<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$