Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c>0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-1*-4\pm sqrt\left(-4^2-4*1*1\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-1*-4\pm sqrt\left(16-4*1*1\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-1*-4\pm sqrt\left(16-4*1\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-1*-4\pm sqrt\left(16-4\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-1*-4\pm sqrt\left(12\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-1*-4\pm sqrt\left(12\right)\right)/\left(2\right)$$

$$x=\left(4\pm sqrt\left(12\right)\right)/2$$

para obter o resultado:

$$x=\left(4\pm sqrt\left(12\right)\right)/2$$

Simplificar $$12$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$12$$ é $$2^2\cdot 3$$

$$x=\left(4\pm 2*sqrt\left(3\right)\right)/2$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(4+2*sqrt\left(3\right)\right)/2$$ e $$x_2=\left(4-2*sqrt\left(3\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(4+2*sqrt\left(3\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(4+2*sqrt\left(3\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(4+2*1,732\right)/2$$

$$x_1=\left(4+2*1,732\right)/2$$

$$x_1=\left(4+3,464\right)/2$$

$$x_1=\left(4+3,464\right)/2$$

$$x_1=\left(7,464\right)/2$$

$$x_1=7,\frac{464}{2}$$

$$x_1=3,732$$

$$x_2=\left(4-2*sqrt\left(3\right)\right)/2$$

$$x_2=\left(4-2*sqrt\left(3\right)\right)/2$$

$$x_2=\left(4-2*1,732\right)/2$$

$$x_2=\left(4-2*1,732\right)/2$$

$$x_2=\left(4-3,464\right)/2$$

$$x_2=\left(4-3,464\right)/2$$

$$x_2=\left(0,536\right)/2$$

$$x_2=0,\frac{536}{2}$$

$$x_2=0,268$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: 0,268, 3,732.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=1), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$x^2-4x+1>0$$ tem um sinal de desigualdade $$>$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$