Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $$3x^2-18x+16>0$$, são:

$$a$$ = 3

$$b$$ = -18

$$c$$ = 16

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c>0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-1*-18\pm sqrt\left(-{18}^2-4*3*16\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-1*-18\pm sqrt\left(324-4*3*16\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-1*-18\pm sqrt\left(324-12*16\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-1*-18\pm sqrt\left(324-192\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-1*-18\pm sqrt\left(132\right)\right)/\left(2*3\right)$$

$$x=\left(-1*-18\pm sqrt\left(132\right)\right)/\left(6\right)$$

$$x=\left(18\pm sqrt\left(132\right)\right)/6$$

para obter o resultado:

$$x=\left(18\pm sqrt\left(132\right)\right)/6$$

Simplificar $$132$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$132$$ é $$2^2\cdot 3\cdot 11$$

$$x=\left(18\pm 2*sqrt\left(33\right)\right)/6$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(18+2*sqrt\left(33\right)\right)/6$$ e $$x_2=\left(18-2*sqrt\left(33\right)\right)/6$$

$$x_1=\left(18+2*sqrt\left(33\right)\right)/6$$

$$x_1=\left(18+2*sqrt\left(33\right)\right)/6$$

$$x_1=\left(18+2*5,745\right)/6$$

$$x_1=\left(18+2*5,745\right)/6$$

$$x_1=\left(18+11,489\right)/6$$

$$x_1=\left(18+11,489\right)/6$$

$$x_1=\left(29,489\right)/6$$

$$x_1=29,\frac{489}{6}$$

$$x_1=4,915$$

$$x_2=\left(18-2*sqrt\left(33\right)\right)/6$$

$$x_2=\left(18-2*sqrt\left(33\right)\right)/6$$

$$x_2=\left(18-2*5,745\right)/6$$

$$x_2=\left(18-2*5,745\right)/6$$

$$x_2=\left(18-11,489\right)/6$$

$$x_2=\left(18-11,489\right)/6$$

$$x_2=\left(6,511\right)/6$$

$$x_2=6,\frac{511}{6}$$

$$x_2=1,085$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: 1,085, 4,915.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=3), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$3x^2-18x+16>0$$ tem um sinal de desigualdade $$>$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$