Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-1*-11\pm sqrt\left(-{11}^2-4*1*23\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-1*-11\pm sqrt\left(121-4*1*23\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-1*-11\pm sqrt\left(121-4*23\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-1*-11\pm sqrt\left(121-92\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-1*-11\pm sqrt\left(29\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-1*-11\pm sqrt\left(29\right)\right)/\left(2\right)$$

$$x=\left(11\pm sqrt\left(29\right)\right)/2$$

para obter o resultado:

$$x=\left(11\pm sqrt\left(29\right)\right)/2$$

Simplificar $$29$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$29$$ é $$29$$

$$x=\left(11\pm sqrt\left(29\right)\right)/2$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(11+sqrt\left(29\right)\right)/2$$ e $$x_2=\left(11-sqrt\left(29\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(11+sqrt\left(29\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(11+sqrt\left(29\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(11+5,385\right)/2$$

$$x_1=\left(11+5,385\right)/2$$

$$x_1=\left(16,385\right)/2$$

$$x_1=16,\frac{385}{2}$$

$$x_1=8,193$$

$$x_2=\left(11-sqrt\left(29\right)\right)/2$$

$$x_2=\left(11-sqrt\left(29\right)\right)/2$$

$$x_2=\left(11-5,385\right)/2$$

$$x_2=\left(11-5,385\right)/2$$

$$x_2=\left(5,615\right)/2$$

$$x_2=5,\frac{615}{2}$$

$$x_2=2,807$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: 2,807, 8,193.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=1), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$x^2-11x+23<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$