Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-7\pm sqrt\left(7^2-4*1*-71\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-7\pm sqrt\left(49-4*1*-71\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-7\pm sqrt\left(49-4*-71\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-7\pm sqrt\left(49--284\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-7\pm sqrt\left(49+284\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-7\pm sqrt\left(333\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-7\pm sqrt\left(333\right)\right)/\left(2\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(-7\pm sqrt\left(333\right)\right)/2$$

Simplificar $$333$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$333$$ é $$3^2\cdot 37$$

$$x=\left(-7\pm 3*sqrt\left(37\right)\right)/2$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(-7+3*sqrt\left(37\right)\right)/2$$ e $$x_2=\left(-7-3*sqrt\left(37\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(-7+3*sqrt\left(37\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(-7+3*sqrt\left(37\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(-7+3*6,083\right)/2$$

$$x_1=\left(-7+3*6,083\right)/2$$

$$x_1=\left(-7+18,248\right)/2$$

$$x_1=\left(-7+18,248\right)/2$$

$$x_1=\left(11,248\right)/2$$

$$x_1=11,\frac{248}{2}$$

$$x_1=5,624$$

$$x_2=\left(-7-3*sqrt\left(37\right)\right)/2$$

$$x_2=\left(-7-3*6,083\right)/2$$

$$x_2=\left(-7-3*6,083\right)/2$$

$$x_2=\left(-7-18,248\right)/2$$

$$x_2=\left(-7-18,248\right)/2$$

$$x_2=\left(-25,248\right)/2$$

$$x_2=-25,\frac{248}{2}$$

$$x_2=-12,624$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -12,624, 5,624.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=1), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$x^2+7x-71<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$