Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $$x^2+7x-30\ge 0$$, são:

$$a$$ = 1

$$b$$ = 7

$$c$$ = -30

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c\ge 0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-7\pm sqrt\left(7^2-4*1*-30\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-7\pm sqrt\left(49-4*1*-30\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-7\pm sqrt\left(49-4*-30\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-7\pm sqrt\left(49--120\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-7\pm sqrt\left(49+120\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-7\pm sqrt\left(169\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-7\pm sqrt\left(169\right)\right)/\left(2\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(-7\pm sqrt\left(169\right)\right)/2$$

Simplificar $$169$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$169$$ é $${13}^2$$

$$x=\left(-7\pm 13\right)/2$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(-7+13\right)/2$$ e $$x_2=\left(-7-13\right)/2$$

$$x_1=\left(-7+13\right)/2$$

$$x_1=\left(-7+13\right)/2$$

$$x_1=\left(6\right)/2$$

$$x_1=\frac{6}{2}$$

$$x_1=3$$

$$x_2=\left(-7-13\right)/2$$

$$x_2=\left(-7-13\right)/2$$

$$x_2=\left(-20\right)/2$$

$$x_2=-\frac{20}{2}$$

$$x_2=-10$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -10, 3.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=1), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$x^2+7x-30\ge 0$$ tem um sinal de desigualdade $$\ge$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$