Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-4\pm sqrt\left(4^2-4*1*-7\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-4\pm sqrt\left(16-4*1*-7\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-4\pm sqrt\left(16-4*-7\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-4\pm sqrt\left(16--28\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-4\pm sqrt\left(16+28\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-4\pm sqrt\left(44\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-4\pm sqrt\left(44\right)\right)/\left(2\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(-4\pm sqrt\left(44\right)\right)/2$$

Simplificar $$44$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$44$$ é $$2^2\cdot 11$$

$$x=\left(-4\pm 2*sqrt\left(11\right)\right)/2$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(-4+2*sqrt\left(11\right)\right)/2$$ e $$x_2=\left(-4-2*sqrt\left(11\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(-4+2*sqrt\left(11\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(-4+2*sqrt\left(11\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(-4+2*3,317\right)/2$$

$$x_1=\left(-4+2*3,317\right)/2$$

$$x_1=\left(-4+6,633\right)/2$$

$$x_1=\left(-4+6,633\right)/2$$

$$x_1=\left(2,633\right)/2$$

$$x_1=2,\frac{633}{2}$$

$$x_1=1,317$$

$$x_2=\left(-4-2*sqrt\left(11\right)\right)/2$$

$$x_2=\left(-4-2*3,317\right)/2$$

$$x_2=\left(-4-2*3,317\right)/2$$

$$x_2=\left(-4-6,633\right)/2$$

$$x_2=\left(-4-6,633\right)/2$$

$$x_2=\left(-10,633\right)/2$$

$$x_2=-10,\frac{633}{2}$$

$$x_2=-5,317$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -5,317, 1,317.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=1), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$x^2+4x-7<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$