Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-45\pm sqrt\left({45}^2-4*1*-350\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-45\pm sqrt\left(2025-4*1*-350\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-45\pm sqrt\left(2025-4*-350\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-45\pm sqrt\left(2025--1400\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-45\pm sqrt\left(2025+1400\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-45\pm sqrt\left(3425\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-45\pm sqrt\left(3425\right)\right)/\left(2\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(-45\pm sqrt\left(3425\right)\right)/2$$

Simplificar $$3425$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$3425$$ é $$5^2\cdot 137$$

$$x=\left(-45\pm 5*sqrt\left(137\right)\right)/2$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(-45+5*sqrt\left(137\right)\right)/2$$ e $$x_2=\left(-45-5*sqrt\left(137\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(-45+5*sqrt\left(137\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(-45+5*sqrt\left(137\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(-45+5*11,705\right)/2$$

$$x_1=\left(-45+5*11,705\right)/2$$

$$x_1=\left(-45+58,523\right)/2$$

$$x_1=\left(-45+58,523\right)/2$$

$$x_1=\left(13,523\right)/2$$

$$x_1=13,\frac{523}{2}$$

$$x_1=6,762$$

$$x_2=\left(-45-5*sqrt\left(137\right)\right)/2$$

$$x_2=\left(-45-5*11,705\right)/2$$

$$x_2=\left(-45-5*11,705\right)/2$$

$$x_2=\left(-45-58,523\right)/2$$

$$x_2=\left(-45-58,523\right)/2$$

$$x_2=\left(-103,523\right)/2$$

$$x_2=-103,\frac{523}{2}$$

$$x_2=-51,762$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -51,762, 6,762.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=1), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$x^2+45x-350<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$