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Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Notação de intervalo - Sem raízes reais:

x \in (- \infty, \infty)

x∈(-∞,∞)

Solução:

x_{1} = (1 + i s q r t (15)) / 2, x_{2} = (1 - i s q r t (15)) / 2

x_1=(1+isqrt(15))/2 , x_2=(1-isqrt(15))/2

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Explicação passo a passo

1. Simplificar a expressão

11 passos adicionais

$x^{2} + 4 > x$

Subtrair {x}^{2} de ambos os lados:

$(x^{2} + 4) - x > x - x$

Simplificar a expressão aritmética:

$(x^{2} + 4) - x > 0$

Subtrair {x}^{2} de ambos os lados:

$((x^{2} + 4) - x) - (x^{2} + 4) > 0 - (x^{2} + 4)$

Expandir os parêntesis:

$x^{2} + 4 - x - x^{2} - 4 > 0 - (x^{2} + 4)$

Agrupar termos semelhantes:

$(x^{2} - x^{2}) - x + (4 - 4) > 0 - (x^{2} + 4)$

Simplificar a expressão aritmética:

$0 x^{2} - x > 0 - (x^{2} + 4)$

$- x > 0 - (x^{2} + 4)$

Simplificar a expressão aritmética:

$- x > - (x^{2} + 4)$

Expandir os parêntesis:

$- x > - x^{2} - 4$

Adicionar $x^{2}$ em ambos os lados:

$- x + x^{2} > (- x^{2} - 4) + x^{2}$

Agrupar termos semelhantes:

$- x + x^{2} > (- x^{2} + x^{2}) - 4$

Simplificar a expressão aritmética:

$- x + x^{2} > - 4$

Simplificar a desigualdade quadrática na sua forma padrão

$a x^{2} + b x + c > 0$

Adicionar $- 4$ a ambos os lados da equação.

$x^{2} - 1 x > - 4$

Adicionar $- 4$ a ambos os lados da equação.

$x^{2} - 1 x + 4 > - 4 + 4$

Simplificar a expressão

$x^{2} - 1 x + 4 > 0$

2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $x^{2} - 1 x + 4 > 0$ , são:

$a$ = 1

$b$ = -1

$c$ = 4

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $a x^{2} + b x + c > 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$x = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = 1$
$b = - 1$
$c = 4$

$x = (- 1 * - 1 \pm s q r t (- 1^{2} - 4 * 1 * 4)) / (2 * 1)$

Simplificar expoentes e raízes quadradas

$x = (- 1 * - 1 \pm s q r t (1 - 4 * 1 * 4)) / (2 * 1)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 1 * - 1 \pm s q r t (1 - 4 * 4)) / (2 * 1)$

$x = (- 1 * - 1 \pm s q r t (1 - 16)) / (2 * 1)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x = (- 1 * - 1 \pm s q r t (- 15)) / (2 * 1)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 1 * - 1 \pm s q r t (- 15)) / (2)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (1 \pm s q r t (- 15)) / 2$

para obter o resultado:

$x = (1 \pm s q r t (- 15)) / 2$

4. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(- 15)}$

Simplificar $- 15$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $- 15$ é $i \sqrt{15}$

A raiz quadrada de um número negativo não existe no conjunto dos números reais. Introduzimos o número imaginário "i", que é a raiz quadrada de menos um. $\sqrt{(- 1)} = i$

$\sqrt{- 15} = \sqrt{(- 1) \cdot 15}$

$\sqrt{(- 1) \cdot 15} = i \sqrt{15}$

Escrever os fatores primos:

$i \sqrt{15} = i \sqrt{3 \cdot 5}$

$i \sqrt{3 \cdot 5} = i \sqrt{15}$

5. Resolver a equação para x

$x = (1 \pm i s q r t (15)) / 2$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $x_{1} = (1 + i s q r t (15)) / 2$ e $x_{2} = (1 - i s q r t (15)) / 2$

6. Encontrar os intervalos

Parte discriminante da fórmula quadrática:

$b^{2} - 4 a c < 0$ Não há raízes reais.
$b^{2} - 4 a c = 0$ Existe uma raiz real.
$b^{2} - 4 a c > 0$ Existem duas raízes reais.

A função de desigualdade não tem raízes reais, a parábola não intercepta o eixo x. A fórmula quadrática requer a raiz quadrada, e a raiz quadrada do número negativo não é definida sobre a linha real.

O intervalo é $(- \infty, \infty)$

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.

Termos e tópicos

Desigualdades quadráticas

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Explicação passo a passo

1. Simplificar a expressão

2. Determinar os coeficientes a, b e c da desigualdade quadrática

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

4. Simplificar a raiz quadrada (−15)

5. Resolver a equação para x

6. Encontrar os intervalos

Porque aprender isto

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2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

4. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(- 15)}$