Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c\ge 0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-3\pm sqrt\left(3^2-4*1*-54\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-3\pm sqrt\left(9-4*1*-54\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-3\pm sqrt\left(9-4*-54\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-3\pm sqrt\left(9--216\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-3\pm sqrt\left(9+216\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-3\pm sqrt\left(225\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-3\pm sqrt\left(225\right)\right)/\left(2\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(-3\pm sqrt\left(225\right)\right)/2$$

Simplificar $$225$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$225$$ é $$3^2\cdot 5^2$$

$$x=\left(-3\pm 15\right)/2$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(-3+15\right)/2$$ e $$x_2=\left(-3-15\right)/2$$

$$x_1=\left(-3+15\right)/2$$

$$x_1=\left(-3+15\right)/2$$

$$x_1=\left(12\right)/2$$

$$x_1=\frac{12}{2}$$

$$x_1=6$$

$$x_2=\left(-3-15\right)/2$$

$$x_2=\left(-3-15\right)/2$$

$$x_2=\left(-18\right)/2$$

$$x_2=-\frac{18}{2}$$

$$x_2=-9$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -9, 6.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=1), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$x^2+3x-54\ge 0$$ tem um sinal de desigualdade $$\ge$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$