Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-32\pm sqrt\left({32}^2-4*1*-200\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-32\pm sqrt\left(1024-4*1*-200\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-32\pm sqrt\left(1024-4*-200\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-32\pm sqrt\left(1024--800\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-32\pm sqrt\left(1024+800\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-32\pm sqrt\left(1824\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-32\pm sqrt\left(1824\right)\right)/\left(2\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(-32\pm sqrt\left(1824\right)\right)/2$$

Simplificar $$1824$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$1824$$ é $$2^5\cdot 3\cdot 19$$

$$x=\left(-32\pm 4*sqrt\left(114\right)\right)/2$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(-32+4*sqrt\left(114\right)\right)/2$$ e $$x_2=\left(-32-4*sqrt\left(114\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(-32+4*sqrt\left(114\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(-32+4*sqrt\left(114\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(-32+4*10,677\right)/2$$

$$x_1=\left(-32+4*10,677\right)/2$$

$$x_1=\left(-32+42,708\right)/2$$

$$x_1=\left(-32+42,708\right)/2$$

$$x_1=\left(10,708\right)/2$$

$$x_1=10,\frac{708}{2}$$

$$x_1=5,354$$

$$x_2=\left(-32-4*sqrt\left(114\right)\right)/2$$

$$x_2=\left(-32-4*10,677\right)/2$$

$$x_2=\left(-32-4*10,677\right)/2$$

$$x_2=\left(-32-42,708\right)/2$$

$$x_2=\left(-32-42,708\right)/2$$

$$x_2=\left(-74,708\right)/2$$

$$x_2=-74,\frac{708}{2}$$

$$x_2=-37,354$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -37,354, 5,354.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=1), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$x^2+32x-200<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$