Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c\le 0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-2\pm sqrt\left(2^2-4*1*-7\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-2\pm sqrt\left(4-4*1*-7\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-2\pm sqrt\left(4-4*-7\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-2\pm sqrt\left(4--28\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-2\pm sqrt\left(4+28\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-2\pm sqrt\left(32\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-2\pm sqrt\left(32\right)\right)/\left(2\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(-2\pm sqrt\left(32\right)\right)/2$$

Simplificar $$32$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$32$$ é $$2^5$$

$$x=\left(-2\pm 4*sqrt\left(2\right)\right)/2$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(-2+4*sqrt\left(2\right)\right)/2$$ e $$x_2=\left(-2-4*sqrt\left(2\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(-2+4*sqrt\left(2\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(-2+4*sqrt\left(2\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(-2+4*1,414\right)/2$$

$$x_1=\left(-2+4*1,414\right)/2$$

$$x_1=\left(-2+5,657\right)/2$$

$$x_1=\left(-2+5,657\right)/2$$

$$x_1=\left(3,657\right)/2$$

$$x_1=3,\frac{657}{2}$$

$$x_1=1,828$$

$$x_2=\left(-2-4*sqrt\left(2\right)\right)/2$$

$$x_2=\left(-2-4*1,414\right)/2$$

$$x_2=\left(-2-4*1,414\right)/2$$

$$x_2=\left(-2-5,657\right)/2$$

$$x_2=\left(-2-5,657\right)/2$$

$$x_2=\left(-7,657\right)/2$$

$$x_2=-7,\frac{657}{2}$$

$$x_2=-3,828$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -3,828, 1,828.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=1), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$x^2+2x-7\le 0$$ tem um sinal de desigualdade $$\le$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$