Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $$x^2+2x-1\le 0$$, são:

$$a$$ = 1

$$b$$ = 2

$$c$$ = -1

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c\le 0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-2\pm sqrt\left(2^2-4*1*-1\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-2\pm sqrt\left(4-4*1*-1\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-2\pm sqrt\left(4-4*-1\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-2\pm sqrt\left(4--4\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-2\pm sqrt\left(4+4\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-2\pm sqrt\left(8\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-2\pm sqrt\left(8\right)\right)/\left(2\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(-2\pm sqrt\left(8\right)\right)/2$$

Simplificar $$8$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$8$$ é $$2^3$$

$$x=\left(-2\pm 2*sqrt\left(2\right)\right)/2$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(-2+2*sqrt\left(2\right)\right)/2$$ e $$x_2=\left(-2-2*sqrt\left(2\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(-2+2*sqrt\left(2\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(-2+2*sqrt\left(2\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(-2+2*1,414\right)/2$$

$$x_1=\left(-2+2*1,414\right)/2$$

$$x_1=\left(-2+2,828\right)/2$$

$$x_1=\left(-2+2,828\right)/2$$

$$x_1=\left(0,828\right)/2$$

$$x_1=0,\frac{828}{2}$$

$$x_1=0,414$$

$$x_2=\left(-2-2*sqrt\left(2\right)\right)/2$$

$$x_2=\left(-2-2*1,414\right)/2$$

$$x_2=\left(-2-2*1,414\right)/2$$

$$x_2=\left(-2-2,828\right)/2$$

$$x_2=\left(-2-2,828\right)/2$$

$$x_2=\left(-4,828\right)/2$$

$$x_2=-4,\frac{828}{2}$$

$$x_2=-2,414$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -2,414, 0,414.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=1), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$x^2+2x-1\le 0$$ tem um sinal de desigualdade $$\le$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$