Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c\ge 0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-24\pm sqrt\left({24}^2-4*1*-1\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-24\pm sqrt\left(576-4*1*-1\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-24\pm sqrt\left(576-4*-1\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-24\pm sqrt\left(576--4\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-24\pm sqrt\left(576+4\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-24\pm sqrt\left(580\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-24\pm sqrt\left(580\right)\right)/\left(2\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(-24\pm sqrt\left(580\right)\right)/2$$

Simplificar $$580$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$580$$ é $$2^2\cdot 5\cdot 29$$

$$x=\left(-24\pm 2*sqrt\left(145\right)\right)/2$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(-24+2*sqrt\left(145\right)\right)/2$$ e $$x_2=\left(-24-2*sqrt\left(145\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(-24+2*sqrt\left(145\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(-24+2*sqrt\left(145\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(-24+2*12,042\right)/2$$

$$x_1=\left(-24+2*12,042\right)/2$$

$$x_1=\left(-24+24,083\right)/2$$

$$x_1=\left(-24+24,083\right)/2$$

$$x_1=\left(0,083\right)/2$$

$$x_1=0,\frac{083}{2}$$

$$x_1=0,042$$

$$x_2=\left(-24-2*sqrt\left(145\right)\right)/2$$

$$x_2=\left(-24-2*12,042\right)/2$$

$$x_2=\left(-24-2*12,042\right)/2$$

$$x_2=\left(-24-24,083\right)/2$$

$$x_2=\left(-24-24,083\right)/2$$

$$x_2=\left(-48,083\right)/2$$

$$x_2=-48,\frac{083}{2}$$

$$x_2=-24,042$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -24,042, 0,042.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=1), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$x^2+24x-1\ge 0$$ tem um sinal de desigualdade $$\ge$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$