Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c\ge 0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-22\pm sqrt\left({22}^2-4*1*-15\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-22\pm sqrt\left(484-4*1*-15\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-22\pm sqrt\left(484-4*-15\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-22\pm sqrt\left(484--60\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-22\pm sqrt\left(484+60\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-22\pm sqrt\left(544\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-22\pm sqrt\left(544\right)\right)/\left(2\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(-22\pm sqrt\left(544\right)\right)/2$$

Simplificar $$544$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$544$$ é $$2^5\cdot 17$$

$$x=\left(-22\pm 4*sqrt\left(34\right)\right)/2$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(-22+4*sqrt\left(34\right)\right)/2$$ e $$x_2=\left(-22-4*sqrt\left(34\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(-22+4*sqrt\left(34\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(-22+4*sqrt\left(34\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(-22+4*5,831\right)/2$$

$$x_1=\left(-22+4*5,831\right)/2$$

$$x_1=\left(-22+23,324\right)/2$$

$$x_1=\left(-22+23,324\right)/2$$

$$x_1=\left(1,324\right)/2$$

$$x_1=1,\frac{324}{2}$$

$$x_1=0,662$$

$$x_2=\left(-22-4*sqrt\left(34\right)\right)/2$$

$$x_2=\left(-22-4*5,831\right)/2$$

$$x_2=\left(-22-4*5,831\right)/2$$

$$x_2=\left(-22-23,324\right)/2$$

$$x_2=\left(-22-23,324\right)/2$$

$$x_2=\left(-45,324\right)/2$$

$$x_2=-45,\frac{324}{2}$$

$$x_2=-22,662$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -22,662, 0,662.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=1), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$x^2+22x-15\ge 0$$ tem um sinal de desigualdade $$\ge$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$