Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c>0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-210\pm sqrt\left({210}^2-4*1*-5\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-210\pm sqrt\left(44100-4*1*-5\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-210\pm sqrt\left(44100-4*-5\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-210\pm sqrt\left(44100--20\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-210\pm sqrt\left(44100+20\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-210\pm sqrt\left(44120\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-210\pm sqrt\left(44120\right)\right)/\left(2\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(-210\pm sqrt\left(44120\right)\right)/2$$

Simplificar $$44120$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$44120$$ é $$2^3\cdot 5\cdot 1103$$

$$x=\left(-210\pm 2*sqrt\left(11030\right)\right)/2$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(-210+2*sqrt\left(11030\right)\right)/2$$ e $$x_2=\left(-210-2*sqrt\left(11030\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(-210+2*sqrt\left(11030\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(-210+2*sqrt\left(11030\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(-210+2*105,024\right)/2$$

$$x_1=\left(-210+2*105,024\right)/2$$

$$x_1=\left(-210+210,048\right)/2$$

$$x_1=\left(-210+210,048\right)/2$$

$$x_1=\left(0,048\right)/2$$

$$x_1=0,\frac{048}{2}$$

$$x_1=0,024$$

$$x_2=\left(-210-2*sqrt\left(11030\right)\right)/2$$

$$x_2=\left(-210-2*105,024\right)/2$$

$$x_2=\left(-210-2*105,024\right)/2$$

$$x_2=\left(-210-210,048\right)/2$$

$$x_2=\left(-210-210,048\right)/2$$

$$x_2=\left(-420,048\right)/2$$

$$x_2=-420,\frac{048}{2}$$

$$x_2=-210,024$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -210,024, 0,024.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=1), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$x^2+210x-5>0$$ tem um sinal de desigualdade $$>$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$