Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c\le 0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-2100\pm sqrt\left({2100}^2-4*1*-400\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-2100\pm sqrt\left(4410000-4*1*-400\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-2100\pm sqrt\left(4410000-4*-400\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-2100\pm sqrt\left(4410000--1600\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-2100\pm sqrt\left(4410000+1600\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-2100\pm sqrt\left(4411600\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-2100\pm sqrt\left(4411600\right)\right)/\left(2\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(-2100\pm sqrt\left(4411600\right)\right)/2$$

Simplificar $$4411600$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$4411600$$ é $$2^4\cdot 5^2\cdot 41\cdot 269$$

$$x=\left(-2100\pm 20*sqrt\left(11029\right)\right)/2$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(-2100+20*sqrt\left(11029\right)\right)/2$$ e $$x_2=\left(-2100-20*sqrt\left(11029\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(-2100+20*sqrt\left(11029\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(-2100+20*sqrt\left(11029\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(-2100+20*105,019\right)/2$$

$$x_1=\left(-2100+20*105,019\right)/2$$

$$x_1=\left(-2100+2100,381\right)/2$$

$$x_1=\left(-2100+2100,381\right)/2$$

$$x_1=\left(0,381\right)/2$$

$$x_1=0,\frac{381}{2}$$

$$x_1=0,19$$

$$x_2=\left(-2100-20*sqrt\left(11029\right)\right)/2$$

$$x_2=\left(-2100-20*105,019\right)/2$$

$$x_2=\left(-2100-20*105,019\right)/2$$

$$x_2=\left(-2100-2100,381\right)/2$$

$$x_2=\left(-2100-2100,381\right)/2$$

$$x_2=\left(-4200,381\right)/2$$

$$x_2=-4200,\frac{381}{2}$$

$$x_2=-2100,19$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -2100,19, 0,19.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=1), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$x^2+2100x-400\le 0$$ tem um sinal de desigualdade $$\le$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$