Introduzir uma equação ou problema

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|abs|

( )

$fraction$

abc

␣

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Solução:

- 11 < x < - 5

-11<x<-5

Notação de intervalo:

x \in (- 11; - 5)

x∈(-11;-5)

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Simplificar a expressão

7 passos adicionais

$x^{2} + 20 x + 50 < 4 x - 5$

Subtrair 50 de ambos os lados:

$(x^{2} + 20 x + 50) - 4 x < (4 x - 5) - 4 x$

Agrupar termos semelhantes:

$x^{2} + (20 x - 4 x) + 50 < (4 x - 5) - 4 x$

Simplificar a expressão aritmética:

$x^{2} + 16 x + 50 < (4 x - 5) - 4 x$

Agrupar termos semelhantes:

$x^{2} + 16 x + 50 < (4 x - 4 x) - 5$

Simplificar a expressão aritmética:

$x^{2} + 16 x + 50 < - 5$

Subtrair 50 de ambos os lados:

$(x^{2} + 16 x + 50) - 50 < - 5 - 50$

Simplificar a expressão aritmética:

$x^{2} + 16 x < - 5 - 50$

Simplificar a expressão aritmética:

$x^{2} + 16 x < - 55$

Simplificar a desigualdade quadrática na sua forma padrão

$a x^{2} + b x + c < 0$

Adicionar $- 55$ a ambos os lados da equação.

$x^{2} + 16 x < - 55$

Adicionar $- 55$ a ambos os lados da equação.

$x^{2} + 16 x + 55 < - 55 + 55$

Simplificar a expressão

$x^{2} + 16 x + 55 < 0$

2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $x^{2} + 16 x + 55 < 0$ , são:

$a$ = 1

$b$ = 16

$c$ = 55

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $a x^{2} + b x + c < 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$x = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = 1$
$b = 16$
$c = 55$

$x = (- 16 \pm s q r t (16^{2} - 4 * 1 * 55)) / (2 * 1)$

Simplificar expoentes e raízes quadradas

$x = (- 16 \pm s q r t (256 - 4 * 1 * 55)) / (2 * 1)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 16 \pm s q r t (256 - 4 * 55)) / (2 * 1)$

$x = (- 16 \pm s q r t (256 - 220)) / (2 * 1)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x = (- 16 \pm s q r t (36)) / (2 * 1)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 16 \pm s q r t (36)) / (2)$

para obter o resultado:

$x = (- 16 \pm s q r t (36)) / 2$

4. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(36)}$

Simplificar $36$ ao encontrar os fatores primos:

Vista em árvore dos fatores primos de <math>36</math>:

A fatoração prima de $36$ é $2^{2} \cdot 3^{2}$

Escrever os fatores primos:

$\sqrt{36} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3}$

Agrupar os fatores primos em pares e reescrevê-los sob a forma de expoente:

$\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3} = \sqrt{2^{2} \cdot 3^{2}}$

Utilizar a regra $\sqrt{(x^{2})} = x$ para simplificar ainda mais:

$\sqrt{2^{2} \cdot 3^{2}} = 2 \cdot 3$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$2 \cdot 3 = 6$

5. Resolver a equação para x

$x = (- 16 \pm 6) / 2$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $x_{1} = (- 16 + 6) / 2$ e $x_{2} = (- 16 - 6) / 2$

$x_{1} = (- 16 + 6) / 2$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x_{1} = (- 16 + 6) / 2$

$x_{1} = (- 10) / 2$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x_{1} = - \frac{10}{2}$

$x_{1} = - 5$

$x_{2} = (- 16 - 6) / 2$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x_{2} = (- 16 - 6) / 2$

$x_{2} = (- 22) / 2$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x_{2} = - \frac{22}{2}$

$x_{2} = - 11$

6. Encontrar os intervalos

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -11, -5.

Uma vez que o coeficiente $a$ é positivo ( $a$ =1), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

7. Escolher o intervalo correto (solução)

Uma vez que $x^{2} + 16 x + 55 < 0$ tem um sinal de desigualdade $<$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução:

Notação de intervalo:

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.

Termos e tópicos

Desigualdades quadráticas

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Explicação passo a passo

1. Simplificar a expressão

2. Determinar os coeficientes a, b e c da desigualdade quadrática

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

4. Simplificar a raiz quadrada (36)

5. Resolver a equação para x

6. Encontrar os intervalos

7. Escolher o intervalo correto (solução)

Porque aprender isto

Termos e tópicos

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2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

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