Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-18\pm sqrt\left({18}^2-4*1*-80\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-18\pm sqrt\left(324-4*1*-80\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-18\pm sqrt\left(324-4*-80\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-18\pm sqrt\left(324--320\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-18\pm sqrt\left(324+320\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-18\pm sqrt\left(644\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-18\pm sqrt\left(644\right)\right)/\left(2\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(-18\pm sqrt\left(644\right)\right)/2$$

Simplificar $$644$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$644$$ é $$2^2\cdot 7\cdot 23$$

$$x=\left(-18\pm 2*sqrt\left(161\right)\right)/2$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(-18+2*sqrt\left(161\right)\right)/2$$ e $$x_2=\left(-18-2*sqrt\left(161\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(-18+2*sqrt\left(161\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(-18+2*sqrt\left(161\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(-18+2*12,689\right)/2$$

$$x_1=\left(-18+2*12,689\right)/2$$

$$x_1=\left(-18+25,377\right)/2$$

$$x_1=\left(-18+25,377\right)/2$$

$$x_1=\left(7,377\right)/2$$

$$x_1=7,\frac{377}{2}$$

$$x_1=3,689$$

$$x_2=\left(-18-2*sqrt\left(161\right)\right)/2$$

$$x_2=\left(-18-2*12,689\right)/2$$

$$x_2=\left(-18-2*12,689\right)/2$$

$$x_2=\left(-18-25,377\right)/2$$

$$x_2=\left(-18-25,377\right)/2$$

$$x_2=\left(-43,377\right)/2$$

$$x_2=-43,\frac{377}{2}$$

$$x_2=-21,689$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -21,689, 3,689.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=1), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$x^2+18x-80<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$