Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $$x^2+15x+54<0$$, são:

$$a$$ = 1

$$b$$ = 15

$$c$$ = 54

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-15\pm sqrt\left({15}^2-4*1*54\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-15\pm sqrt\left(225-4*1*54\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-15\pm sqrt\left(225-4*54\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-15\pm sqrt\left(225-216\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-15\pm sqrt\left(9\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-15\pm sqrt\left(9\right)\right)/\left(2\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(-15\pm sqrt\left(9\right)\right)/2$$

Simplificar $$9$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$9$$ é $$3^2$$

$$x=\left(-15\pm 3\right)/2$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(-15+3\right)/2$$ e $$x_2=\left(-15-3\right)/2$$

$$x_1=\left(-15+3\right)/2$$

$$x_1=\left(-15+3\right)/2$$

$$x_1=\left(-12\right)/2$$

$$x_1=-\frac{12}{2}$$

$$x_1=-6$$

$$x_2=\left(-15-3\right)/2$$

$$x_2=\left(-15-3\right)/2$$

$$x_2=\left(-18\right)/2$$

$$x_2=-\frac{18}{2}$$

$$x_2=-9$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -9, -6.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=1), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$x^2+15x+54<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$