Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-150\pm sqrt\left({150}^2-4*1*-5000\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-150\pm sqrt\left(22500-4*1*-5000\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-150\pm sqrt\left(22500-4*-5000\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-150\pm sqrt\left(22500--20000\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-150\pm sqrt\left(22500+20000\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-150\pm sqrt\left(42500\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-150\pm sqrt\left(42500\right)\right)/\left(2\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(-150\pm sqrt\left(42500\right)\right)/2$$

Simplificar $$42500$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$42500$$ é $$2^2\cdot 5^4\cdot 17$$

$$x=\left(-150\pm 50*sqrt\left(17\right)\right)/2$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(-150+50*sqrt\left(17\right)\right)/2$$ e $$x_2=\left(-150-50*sqrt\left(17\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(-150+50*sqrt\left(17\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(-150+50*sqrt\left(17\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(-150+50*4,123\right)/2$$

$$x_1=\left(-150+50*4,123\right)/2$$

$$x_1=\left(-150+206,155\right)/2$$

$$x_1=\left(-150+206,155\right)/2$$

$$x_1=\left(56,155\right)/2$$

$$x_1=56,\frac{155}{2}$$

$$x_1=28,078$$

$$x_2=\left(-150-50*sqrt\left(17\right)\right)/2$$

$$x_2=\left(-150-50*4,123\right)/2$$

$$x_2=\left(-150-50*4,123\right)/2$$

$$x_2=\left(-150-206,155\right)/2$$

$$x_2=\left(-150-206,155\right)/2$$

$$x_2=\left(-356,155\right)/2$$

$$x_2=-356,\frac{155}{2}$$

$$x_2=-178,078$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -178,078, 28,078.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=1), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$x^2+150x-5000<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$