Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-14\pm sqrt\left({14}^2-4*1*-48\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-14\pm sqrt\left(196-4*1*-48\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-14\pm sqrt\left(196-4*-48\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-14\pm sqrt\left(196--192\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-14\pm sqrt\left(196+192\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-14\pm sqrt\left(388\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-14\pm sqrt\left(388\right)\right)/\left(2\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(-14\pm sqrt\left(388\right)\right)/2$$

Simplificar $$388$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$388$$ é $$2^2\cdot 97$$

$$x=\left(-14\pm 2*sqrt\left(97\right)\right)/2$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(-14+2*sqrt\left(97\right)\right)/2$$ e $$x_2=\left(-14-2*sqrt\left(97\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(-14+2*sqrt\left(97\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(-14+2*sqrt\left(97\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(-14+2*9,849\right)/2$$

$$x_1=\left(-14+2*9,849\right)/2$$

$$x_1=\left(-14+19,698\right)/2$$

$$x_1=\left(-14+19,698\right)/2$$

$$x_1=\left(5,698\right)/2$$

$$x_1=5,\frac{698}{2}$$

$$x_1=2,849$$

$$x_2=\left(-14-2*sqrt\left(97\right)\right)/2$$

$$x_2=\left(-14-2*9,849\right)/2$$

$$x_2=\left(-14-2*9,849\right)/2$$

$$x_2=\left(-14-19,698\right)/2$$

$$x_2=\left(-14-19,698\right)/2$$

$$x_2=\left(-33,698\right)/2$$

$$x_2=-33,\frac{698}{2}$$

$$x_2=-16,849$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -16,849, 2,849.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=1), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$x^2+14x-48<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$