Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-12\pm sqrt\left({12}^2-4*1*9\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-12\pm sqrt\left(144-4*1*9\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-12\pm sqrt\left(144-4*9\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-12\pm sqrt\left(144-36\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-12\pm sqrt\left(108\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-12\pm sqrt\left(108\right)\right)/\left(2\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(-12\pm sqrt\left(108\right)\right)/2$$

Simplificar $$108$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$108$$ é $$2^2\cdot 3^3$$

$$x=\left(-12\pm 6*sqrt\left(3\right)\right)/2$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(-12+6*sqrt\left(3\right)\right)/2$$ e $$x_2=\left(-12-6*sqrt\left(3\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(-12+6*sqrt\left(3\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(-12+6*1,732\right)/2$$

$$x_1=\left(-12+6*1,732\right)/2$$

$$x_1=\left(-12+10,392\right)/2$$

$$x_1=\left(-12+10,392\right)/2$$

$$x_1=\left(-1,608\right)/2$$

$$x_1=-1,\frac{608}{2}$$

$$x_1=-0,804$$

$$x_2=\left(-12-6*sqrt\left(3\right)\right)/2$$

$$x_2=\left(-12-6*1,732\right)/2$$

$$x_2=\left(-12-6*1,732\right)/2$$

$$x_2=\left(-12-10,392\right)/2$$

$$x_2=\left(-12-10,392\right)/2$$

$$x_2=\left(-22,392\right)/2$$

$$x_2=-22,\frac{392}{2}$$

$$x_2=-11,196$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -11,196, -0,804.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=1), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$x^2+12x+9<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$