Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $$x^2+10x+12<0$$, são:

$$a$$ = 1

$$b$$ = 10

$$c$$ = 12

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{x}^2+bx+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$x=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$x=\left(-10\pm sqrt\left({10}^2-4*1*12\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-10\pm sqrt\left(100-4*1*12\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-10\pm sqrt\left(100-4*12\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-10\pm sqrt\left(100-48\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-10\pm sqrt\left(52\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$x=\left(-10\pm sqrt\left(52\right)\right)/\left(2\right)$$

para obter o resultado:

$$x=\left(-10\pm sqrt\left(52\right)\right)/2$$

Simplificar $$52$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$52$$ é $$2^2\cdot 13$$

$$x=\left(-10\pm 2*sqrt\left(13\right)\right)/2$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$x_1=\left(-10+2*sqrt\left(13\right)\right)/2$$ e $$x_2=\left(-10-2*sqrt\left(13\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(-10+2*sqrt\left(13\right)\right)/2$$

$$x_1=\left(-10+2*3,606\right)/2$$

$$x_1=\left(-10+2*3,606\right)/2$$

$$x_1=\left(-10+7,211\right)/2$$

$$x_1=\left(-10+7,211\right)/2$$

$$x_1=\left(-2,789\right)/2$$

$$x_1=-2,\frac{789}{2}$$

$$x_1=-1,394$$

$$x_2=\left(-10-2*sqrt\left(13\right)\right)/2$$

$$x_2=\left(-10-2*3,606\right)/2$$

$$x_2=\left(-10-2*3,606\right)/2$$

$$x_2=\left(-10-7,211\right)/2$$

$$x_2=\left(-10-7,211\right)/2$$

$$x_2=\left(-17,211\right)/2$$

$$x_2=-17,\frac{211}{2}$$

$$x_2=-8,606$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -8,606, -1,394.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=1), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$x^2+10x+12<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$