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Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Notação de intervalo - Sem raízes reais:

x \in (- \infty, \infty)

x∈(-∞,∞)

Solução:

x_{1} = - 1 + i \cdot \sqrt{3}, x_{2} = - 1 - i \cdot \sqrt{3}

x_{1}=-1+i\cdot\sqrt{3} , x_{2}=-1-i\cdot\sqrt{3}

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Explicação passo a passo

1. Simplificar a expressão

13 passos adicionais

$x^{2} + (x + 3) \cdot (x + 3) > 1 + 2 x$

Expandir os parêntesis:

$x^{2} + x \cdot (x + 3) + 3 \cdot (x + 3) > 1 + 2 x$

$x^{2} + x \cdot x + x \cdot 3 + 3 \cdot (x + 3) > 1 + 2 x$

Simplificar a expressão aritmética:

$x^{2} + x^{2} + x \cdot 3 + 3 \cdot (x + 3) > 1 + 2 x$

Expandir os parêntesis:

$x^{2} + x^{2} + 3 x + 3 x + 3 \cdot 3 > 1 + 2 x$

Simplificar a expressão aritmética:

$x^{2} + x^{2} + 3 x + 3 x + 9 > 1 + 2 x$

Combinar termos semelhantes:

$2 x^{2} + 6 x + 9 > 1 + 2 x$

Subtrair 9 de ambos os lados:

$(2 x^{2} + 6 x + 9) - 2 x > (1 + 2 x) - 2 x$

Agrupar termos semelhantes:

$2 x^{2} + (6 x - 2 x) + 9 > (1 + 2 x) - 2 x$

Simplificar a expressão aritmética:

$2 x^{2} + 4 x + 9 > (1 + 2 x) - 2 x$

Agrupar termos semelhantes:

$2 x^{2} + 4 x + 9 > (2 x - 2 x) + 1$

Simplificar a expressão aritmética:

$2 x^{2} + 4 x + 9 > 1$

Subtrair 9 de ambos os lados:

$(2 x^{2} + 4 x + 9) - 9 > 1 - 9$

Simplificar a expressão aritmética:

$2 x^{2} + 4 x > 1 - 9$

Simplificar a expressão aritmética:

$2 x^{2} + 4 x > - 8$

Simplificar a desigualdade quadrática na sua forma padrão

$a x^{2} + b x + c > 0$

Adicionar $- 8$ a ambos os lados da equação.

$2 x^{2} + 4 x > - 8$

Adicionar $- 8$ a ambos os lados da equação.

$2 x^{2} + 4 x + 8 > - 8 + 8$

Simplificar a expressão

$2 x^{2} + 4 x + 8 > 0$

2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $2 x^{2} + 4 x + 8 > 0$ , são:

$a$ = 2

$b$ = 4

$c$ = 8

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $a x^{2} + b x + c > 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$x = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = 2$
$b = 4$
$c = 8$

$x = (- 4 \pm s q r t (4^{2} - 4 * 2 * 8)) / (2 * 2)$

Simplificar expoentes e raízes quadradas

$x = (- 4 \pm s q r t (16 - 4 * 2 * 8)) / (2 * 2)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 4 \pm s q r t (16 - 8 * 8)) / (2 * 2)$

$x = (- 4 \pm s q r t (16 - 64)) / (2 * 2)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x = (- 4 \pm s q r t (- 48)) / (2 * 2)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 4 \pm s q r t (- 48)) / (4)$

para obter o resultado:

$x = (- 4 \pm s q r t (- 48)) / 4$

4. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(- 48)}$

Simplificar $- 48$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $- 48$ é $4 i \cdot \sqrt{3}$

A raiz quadrada de um número negativo não existe no conjunto dos números reais. Introduzimos o número imaginário "i", que é a raiz quadrada de menos um. $\sqrt{(- 1)} = i$

$\sqrt{- 48} = \sqrt{(- 1) \cdot 48}$

$\sqrt{(- 1) \cdot 48} = i \sqrt{48}$

Escrever os fatores primos:

$i \sqrt{48} = i \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3}$

Agrupar os fatores primos em pares e reescrevê-los sob a forma de expoente:

$i \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3} = i \sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 3}$

Utilizar a regra $\sqrt{(x^{2})} = x$ para simplificar ainda mais:

$i \sqrt{2^{2} \cdot 2^{2} \cdot 3} = 2 \cdot 2 i \cdot \sqrt{3}$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$2 \cdot 2 i \cdot \sqrt{3} = 4 i \cdot \sqrt{3}$

5. Resolver a equação para x

$x = (- 4 \pm 4 i * s q r t (3)) / 4$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $x_{1} = (- 4 + 4 i * s q r t (3)) / 4$ e $x_{2} = (- 4 - 4 i * s q r t (3)) / 4$

3 passos adicionais

$x_{1} = \frac{(- 4 + 4 i \cdot \sqrt{3})}{4}$

Quebrar a fração:

$x_{1} = \frac{- 4}{4} + \frac{4 i \cdot \sqrt{3}}{4}$

Encontrar o maior fator comum do numerador e do denominador:

$x_{1} = \frac{(- 1 \cdot 4)}{(1 \cdot 4)} + \frac{4 i \cdot \sqrt{3}}{4}$

Eliminar o fator e cancelar o maior fator comum:

$x_{1} = - 1 + \frac{4 i \cdot \sqrt{3}}{4}$

Simplificar a fração:

$x_{1} = - 1 + i \cdot \sqrt{3}$

3 passos adicionais

$x_{2} = \frac{(- 4 - 4 i \cdot \sqrt{3})}{4}$

Quebrar a fração:

$x_{2} = \frac{- 4}{4} + \frac{- 4 i \cdot \sqrt{3}}{4}$

Encontrar o maior fator comum do numerador e do denominador:

$x_{2} = \frac{(- 1 \cdot 4)}{(1 \cdot 4)} + \frac{- 4 i \cdot \sqrt{3}}{4}$

Eliminar o fator e cancelar o maior fator comum:

$x_{2} = - 1 + \frac{- 4 i \cdot \sqrt{3}}{4}$

Simplificar a fração:

$x_{2} = - 1 - i \cdot \sqrt{3}$

6. Encontrar os intervalos

Parte discriminante da fórmula quadrática:

$b^{2} - 4 a c < 0$ Não há raízes reais.
$b^{2} - 4 a c = 0$ Existe uma raiz real.
$b^{2} - 4 a c > 0$ Existem duas raízes reais.

A função de desigualdade não tem raízes reais, a parábola não intercepta o eixo x. A fórmula quadrática requer a raiz quadrada, e a raiz quadrada do número negativo não é definida sobre a linha real.

O intervalo é $(- \infty, \infty)$

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.

Termos e tópicos

Desigualdades quadráticas

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Explicação passo a passo

1. Simplificar a expressão

2. Determinar os coeficientes a, b e c da desigualdade quadrática

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

4. Simplificar a raiz quadrada (−48)

5. Resolver a equação para x

6. Encontrar os intervalos

Porque aprender isto

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