Introduzir uma equação ou problema

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|abs|

( )

$fraction$

abc

␣

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Notação de intervalo - Sem raízes reais:

x \in (- \infty, \infty)

x∈(-∞,∞)

Solução:

x_{1} = - 1 + \frac{1}{3} i \cdot \sqrt{6}, x_{2} = - 1 + \frac{- 1}{3} i \cdot \sqrt{6}

x_{1}=-1+\frac{1}{3}i\cdot\sqrt{6} , x_{2}=-1+\frac{-1}{3}i\cdot\sqrt{6}

Ver passos

Explicação passo a passo

1. Simplificar a expressão

15 passos adicionais

$x^{2} + (x + 1) \cdot (x + 1) + {(x + 2)}^{2} < 0$

Expandir os parêntesis:

$x^{2} + x \cdot (x + 1) + 1 \cdot (x + 1) + {(x + 2)}^{2} < 0$

$x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 + 1 \cdot (x + 1) + {(x + 2)}^{2} < 0$

Simplificar a expressão aritmética:

$x^{2} + x^{2} + x \cdot 1 + 1 \cdot (x + 1) + {(x + 2)}^{2} < 0$

Expandir os parêntesis:

$x^{2} + x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1 + {(x + 2)}^{2} < 0$

Simplificar a expressão aritmética:

$x^{2} + x^{2} + x + 1 x + 1 + {(x + 2)}^{2} < 0$

Agrupar termos semelhantes:

$(x^{2} + x^{2}) + (x + x) + 1 + {(x + 2)}^{2} < 0$

Expandir os parêntesis:

$2 x^{2} + 2 x + 1 + x \cdot (x + 2) + 2 \cdot (x + 2) < 0$

$2 x^{2} + 2 x + 1 + x \cdot x + x \cdot 2 + 2 \cdot (x + 2) < 0$

Simplificar a expressão aritmética:

$2 x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} + x \cdot 2 + 2 \cdot (x + 2) < 0$

Expandir os parêntesis:

$2 x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} + 2 x + 2 x + 2 \cdot 2 < 0$

Simplificar a expressão aritmética:

$2 x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} + 2 x + 2 x + 4 < 0$

Agrupar termos semelhantes:

$(2 x^{2} + x^{2}) + (2 x + 2 x + 2 x) + (1 + 4) < 0$

Simplificar a expressão aritmética:

$3 x^{2} + 6 x + 5 < 0$

Subtrair 5 de ambos os lados:

$(3 x^{2} + 6 x + 5) - 5 < 0 - 5$

Simplificar a expressão aritmética:

$3 x^{2} + 6 x < 0 - 5$

Simplificar a expressão aritmética:

$3 x^{2} + 6 x < - 5$

Simplificar a desigualdade quadrática na sua forma padrão

$a x^{2} + b x + c < 0$

Adicionar $- 5$ a ambos os lados da equação.

$3 x^{2} + 6 x < - 5$

Adicionar $- 5$ a ambos os lados da equação.

$3 x^{2} + 6 x + 5 < - 5 + 5$

Simplificar a expressão

$3 x^{2} + 6 x + 5 < 0$

2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $3 x^{2} + 6 x + 5 < 0$ , são:

$a$ = 3

$b$ = 6

$c$ = 5

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $a x^{2} + b x + c < 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$x = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = 3$
$b = 6$
$c = 5$

$x = (- 6 \pm s q r t (6^{2} - 4 * 3 * 5)) / (2 * 3)$

Simplificar expoentes e raízes quadradas

$x = (- 6 \pm s q r t (36 - 4 * 3 * 5)) / (2 * 3)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 6 \pm s q r t (36 - 12 * 5)) / (2 * 3)$

$x = (- 6 \pm s q r t (36 - 60)) / (2 * 3)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$x = (- 6 \pm s q r t (- 24)) / (2 * 3)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$x = (- 6 \pm s q r t (- 24)) / (6)$

para obter o resultado:

$x = (- 6 \pm s q r t (- 24)) / 6$

4. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(- 24)}$

Simplificar $- 24$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $- 24$ é $2 i \cdot \sqrt{6}$

A raiz quadrada de um número negativo não existe no conjunto dos números reais. Introduzimos o número imaginário "i", que é a raiz quadrada de menos um. $\sqrt{(- 1)} = i$

$\sqrt{- 24} = \sqrt{(- 1) \cdot 24}$

$\sqrt{(- 1) \cdot 24} = i \sqrt{24}$

Escrever os fatores primos:

$i \sqrt{24} = i \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3}$

Agrupar os fatores primos em pares e reescrevê-los sob a forma de expoente:

$i \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3} = i \sqrt{2^{2} \cdot 2 \cdot 3}$

Utilizar a regra $\sqrt{(x^{2})} = x$ para simplificar ainda mais:

$i \sqrt{2^{2} \cdot 2 \cdot 3} = 2 i \cdot \sqrt{2 \cdot 3}$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$2 i \cdot \sqrt{2 \cdot 3} = 2 i \cdot \sqrt{6}$

5. Resolver a equação para x

$x = (- 6 \pm 2 i * s q r t (6)) / 6$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $x_{1} = (- 6 + 2 i * s q r t (6)) / 6$ e $x_{2} = (- 6 - 2 i * s q r t (6)) / 6$

3 passos adicionais

$x_{1} = \frac{(- 6 + 2 i \cdot \sqrt{6})}{6}$

Quebrar a fração:

$x_{1} = \frac{- 6}{6} + \frac{2 i \cdot \sqrt{6}}{6}$

Encontrar o maior fator comum do numerador e do denominador:

$x_{1} = \frac{(- 1 \cdot 6)}{(1 \cdot 6)} + \frac{2 i \cdot \sqrt{6}}{6}$

Eliminar o fator e cancelar o maior fator comum:

$x_{1} = - 1 + \frac{2 i \cdot \sqrt{6}}{6}$

Simplificar a fração:

$x_{1} = - 1 + \frac{1}{3} i \cdot \sqrt{6}$

3 passos adicionais

$x_{2} = \frac{(- 6 - 2 i \cdot \sqrt{6})}{6}$

Quebrar a fração:

$x_{2} = \frac{- 6}{6} + \frac{- 2 i \cdot \sqrt{6}}{6}$

Encontrar o maior fator comum do numerador e do denominador:

$x_{2} = \frac{(- 1 \cdot 6)}{(1 \cdot 6)} + \frac{- 2 i \cdot \sqrt{6}}{6}$

Eliminar o fator e cancelar o maior fator comum:

$x_{2} = - 1 + \frac{- 2 i \cdot \sqrt{6}}{6}$

Simplificar a fração:

$x_{2} = - 1 + \frac{- 1}{3} i \cdot \sqrt{6}$

6. Encontrar os intervalos

Parte discriminante da fórmula quadrática:

$b^{2} - 4 a c < 0$ Não há raízes reais.
$b^{2} - 4 a c = 0$ Existe uma raiz real.
$b^{2} - 4 a c > 0$ Existem duas raízes reais.

A função de desigualdade não tem raízes reais, a parábola não intercepta o eixo x. A fórmula quadrática requer a raiz quadrada, e a raiz quadrada do número negativo não é definida sobre a linha real.

O intervalo é $(- \infty, \infty)$

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.

Termos e tópicos

Desigualdades quadráticas

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Explicação passo a passo

1. Simplificar a expressão

2. Determinar os coeficientes a, b e c da desigualdade quadrática

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

4. Simplificar a raiz quadrada (−24)

5. Resolver a equação para x

6. Encontrar os intervalos

Porque aprender isto

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