Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{t}^2+bt+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$t=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$t=\left(-24\pm sqrt\left({24}^2-4*1*-36\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$t=\left(-24\pm sqrt\left(576-4*1*-36\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$t=\left(-24\pm sqrt\left(576-4*-36\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$t=\left(-24\pm sqrt\left(576--144\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$t=\left(-24\pm sqrt\left(576+144\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$t=\left(-24\pm sqrt\left(720\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$t=\left(-24\pm sqrt\left(720\right)\right)/\left(2\right)$$

para obter o resultado:

$$t=\left(-24\pm sqrt\left(720\right)\right)/2$$

Simplificar $$720$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$720$$ é $$2^4\cdot 3^2\cdot 5$$

$$t=\left(-24\pm 12*sqrt\left(5\right)\right)/2$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$t_1=\left(-24+12*sqrt\left(5\right)\right)/2$$ e $$t_2=\left(-24-12*sqrt\left(5\right)\right)/2$$

$$t_1=\left(-24+12*sqrt\left(5\right)\right)/2$$

$$t_1=\left(-24+12*sqrt\left(5\right)\right)/2$$

$$t_1=\left(-24+12*2,236\right)/2$$

$$t_1=\left(-24+12*2,236\right)/2$$

$$t_1=\left(-24+26,833\right)/2$$

$$t_1=\left(-24+26,833\right)/2$$

$$t_1=\left(2,833\right)/2$$

$$t_1=2,\frac{833}{2}$$

$$t_1=1,416$$

$$t_2=\left(-24-12*sqrt\left(5\right)\right)/2$$

$$t_2=\left(-24-12*2,236\right)/2$$

$$t_2=\left(-24-12*2,236\right)/2$$

$$t_2=\left(-24-26,833\right)/2$$

$$t_2=\left(-24-26,833\right)/2$$

$$t_2=\left(-50,833\right)/2$$

$$t_2=-50,\frac{833}{2}$$

$$t_2=-25,416$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -25,416, 1,416.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=1), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$t^2+24t-36<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$