Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $$t^2+12t-35>0$$, são:

$$a$$ = 1

$$b$$ = 12

$$c$$ = -35

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{t}^2+bt+c>0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$t=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$t=\left(-12\pm sqrt\left({12}^2-4*1*-35\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$t=\left(-12\pm sqrt\left(144-4*1*-35\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$t=\left(-12\pm sqrt\left(144-4*-35\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$t=\left(-12\pm sqrt\left(144--140\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$t=\left(-12\pm sqrt\left(144+140\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$t=\left(-12\pm sqrt\left(284\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$t=\left(-12\pm sqrt\left(284\right)\right)/\left(2\right)$$

para obter o resultado:

$$t=\left(-12\pm sqrt\left(284\right)\right)/2$$

Simplificar $$284$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$284$$ é $$2^2\cdot 71$$

$$t=\left(-12\pm 2*sqrt\left(71\right)\right)/2$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$t_1=\left(-12+2*sqrt\left(71\right)\right)/2$$ e $$t_2=\left(-12-2*sqrt\left(71\right)\right)/2$$

$$t_1=\left(-12+2*sqrt\left(71\right)\right)/2$$

$$t_1=\left(-12+2*sqrt\left(71\right)\right)/2$$

$$t_1=\left(-12+2*8,426\right)/2$$

$$t_1=\left(-12+2*8,426\right)/2$$

$$t_1=\left(-12+16,852\right)/2$$

$$t_1=\left(-12+16,852\right)/2$$

$$t_1=\left(4,852\right)/2$$

$$t_1=4,\frac{852}{2}$$

$$t_1=2,426$$

$$t_2=\left(-12-2*sqrt\left(71\right)\right)/2$$

$$t_2=\left(-12-2*8,426\right)/2$$

$$t_2=\left(-12-2*8,426\right)/2$$

$$t_2=\left(-12-16,852\right)/2$$

$$t_2=\left(-12-16,852\right)/2$$

$$t_2=\left(-28,852\right)/2$$

$$t_2=-28,\frac{852}{2}$$

$$t_2=-14,426$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -14,426, 2,426.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=1), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$t^2+12t-35>0$$ tem um sinal de desigualdade $$>$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$