Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{r}^2+br+c\ge 0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$r=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$r=\left(-1*-2\pm sqrt\left(-2^2-4*1*-2\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$r=\left(-1*-2\pm sqrt\left(4-4*1*-2\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$r=\left(-1*-2\pm sqrt\left(4-4*-2\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$r=\left(-1*-2\pm sqrt\left(4--8\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$r=\left(-1*-2\pm sqrt\left(4+8\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$r=\left(-1*-2\pm sqrt\left(12\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$r=\left(-1*-2\pm sqrt\left(12\right)\right)/\left(2\right)$$

$$r=\left(2\pm sqrt\left(12\right)\right)/2$$

para obter o resultado:

$$r=\left(2\pm sqrt\left(12\right)\right)/2$$

Simplificar $$12$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$12$$ é $$2^2\cdot 3$$

$$r=\left(2\pm 2*sqrt\left(3\right)\right)/2$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$r_1=\left(2+2*sqrt\left(3\right)\right)/2$$ e $$r_2=\left(2-2*sqrt\left(3\right)\right)/2$$

$$r_1=\left(2+2*sqrt\left(3\right)\right)/2$$

$$r_1=\left(2+2*sqrt\left(3\right)\right)/2$$

$$r_1=\left(2+2*1,732\right)/2$$

$$r_1=\left(2+2*1,732\right)/2$$

$$r_1=\left(2+3,464\right)/2$$

$$r_1=\left(2+3,464\right)/2$$

$$r_1=\left(5,464\right)/2$$

$$r_1=5,\frac{464}{2}$$

$$r_1=2,732$$

$$r_2=\left(2-2*sqrt\left(3\right)\right)/2$$

$$r_2=\left(2-2*1,732\right)/2$$

$$r_2=\left(2-2*1,732\right)/2$$

$$r_2=\left(2-3,464\right)/2$$

$$r_2=\left(2-3,464\right)/2$$

$$r_2=\left(-1,464\right)/2$$

$$r_2=-1,\frac{464}{2}$$

$$r_2=-0,732$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -0,732, 2,732.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=1), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$r^2-2r-2\ge 0$$ tem um sinal de desigualdade $$\ge$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$