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Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Notação de intervalo - Sem raízes reais:

r \in (- \infty, \infty)

r∈(-∞,∞)

Solução:

r_{1} = 2 i, r_{2} = - 2 i

r_{1}=2i , r_{2}=-2i

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Explicação passo a passo

1. Simplificar a desigualdade quadrática na sua forma padrão

$a r^{2} + b r + c \leq 0$

Adicionar $- 3$ a ambos os lados da equação.

$r^{2} + 1 \leq - 3$

Adicionar $- 3$ a ambos os lados da equação.

$r^{2} + 1 + 3 \leq - 3 + 3$

Simplificar a expressão

$r^{2} + 4 \leq 0$

2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

Os coeficientes da nossa desigualdade, $r^{2} + 0 r + 4 \leq 0$ , são:

$a$ = 1

$b$ = 0

$c$ = 4

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $a r^{2} + b r + c \leq 0$ , em que $a$ , $b$ e $c$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$r = (- b \pm s q r t (b^{2} - 4 a c)) / (2 a)$

$a = 1$
$b = 0$
$c = 4$

$r = (- 0 \pm s q r t (0^{2} - 4 * 1 * 4)) / (2 * 1)$

Simplificar expoentes e raízes quadradas

$r = (- 0 \pm s q r t (0 - 4 * 1 * 4)) / (2 * 1)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$r = (- 0 \pm s q r t (0 - 4 * 4)) / (2 * 1)$

$r = (- 0 \pm s q r t (0 - 16)) / (2 * 1)$

Calcular qualquer adição ou subtração, da esquerda para a direita.

$r = (- 0 \pm s q r t (- 16)) / (2 * 1)$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$r = (- 0 \pm s q r t (- 16)) / (2)$

para obter o resultado:

$r = (- 0 \pm s q r t (- 16)) / 2$

4. Simplificar a raiz quadrada $\sqrt{(- 16)}$

Simplificar $- 16$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $- 16$ é $4 i$

A raiz quadrada de um número negativo não existe no conjunto dos números reais. Introduzimos o número imaginário "i", que é a raiz quadrada de menos um. $\sqrt{(- 1)} = i$

$\sqrt{- 16} = \sqrt{(- 1) \cdot 16}$

$\sqrt{(- 1) \cdot 16} = i \sqrt{16}$

Escrever os fatores primos:

$i \sqrt{16} = i \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}$

Agrupar os fatores primos em pares e reescrevê-los sob a forma de expoente:

$i \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} = i \sqrt{2^{2} \cdot 2^{2}}$

Utilizar a regra $\sqrt{(x^{2})} = x$ para simplificar ainda mais:

$i \sqrt{2^{2} \cdot 2^{2}} = 2 \cdot 2 i$

Realizar qualquer multiplicação ou divisão, da esquerda para a direita:

$2 \cdot 2 i = 4 i$

5. Resolver a equação para r

$r = (- 0 \pm 4 i) / 2$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $r_{1} = (- 0 + 4 i) / 2$ e $r_{2} = (- 0 - 4 i) / 2$

$r_{1} = \frac{(0 + 4 i)}{2}$

Simplificar a expressão aritmética:

$r_{1} = \frac{4 i}{2}$

Simplificar a fração:

$r_{1} = 2 i$

$r_{2} = \frac{(0 - 4 i)}{2}$

Simplificar a expressão aritmética:

$r_{2} = \frac{- 4 i}{2}$

Simplificar a fração:

$r_{2} = - 2 i$

6. Encontrar os intervalos

Parte discriminante da fórmula quadrática:

$b^{2} - 4 a c < 0$ Não há raízes reais.
$b^{2} - 4 a c = 0$ Existe uma raiz real.
$b^{2} - 4 a c > 0$ Existem duas raízes reais.

A função de desigualdade não tem raízes reais, a parábola não intercepta o eixo x. A fórmula quadrática requer a raiz quadrada, e a raiz quadrada do número negativo não é definida sobre a linha real.

O intervalo é $(- \infty, \infty)$

Como nos saímos?

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Porque aprender isto

Enquanto as equações quadráticas expressam os caminhos de arcos e os pontos ao longo dos mesmos, as desigualdades quadráticas expressam as áreas dentro e fora de tais arcos, bem como os intervalos que estes cobrem. Por outras palavras, se as equações quadráticas nos dizem onde se encontra o limite, as desigualdades quadráticas ajudam-nos a compreender em que nos devemos focar em relação a tal limite. De uma forma mais prática, as desigualdades quadráticas são utilizadas para criar algoritmos complexos que alimentam software poderoso e analisam a forma como alterações, tais como os preços no supermercado, ocorrem ao longo do tempo.

Termos e tópicos

Desigualdades quadráticas

Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

Explicação passo a passo

1. Simplificar a desigualdade quadrática na sua forma padrão

2. Determinar os coeficientes a, b e c da desigualdade quadrática

3. Introduzir esses coeficientes na fórmula quadrática

4. Simplificar a raiz quadrada (−16)

5. Resolver a equação para r

6. Encontrar os intervalos

Porque aprender isto

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2. Determinar os coeficientes $a$ , $b$ e $c$ da desigualdade quadrática

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