Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{p}^2+bp+c<0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$p=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$p=\left(-14\pm sqrt\left({14}^2-4*1*-38\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$p=\left(-14\pm sqrt\left(196-4*1*-38\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$p=\left(-14\pm sqrt\left(196-4*-38\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$p=\left(-14\pm sqrt\left(196--152\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$p=\left(-14\pm sqrt\left(196+152\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$p=\left(-14\pm sqrt\left(348\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$p=\left(-14\pm sqrt\left(348\right)\right)/\left(2\right)$$

para obter o resultado:

$$p=\left(-14\pm sqrt\left(348\right)\right)/2$$

Simplificar $$348$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$348$$ é $$2^2\cdot 3\cdot 29$$

$$p=\left(-14\pm 2*sqrt\left(87\right)\right)/2$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$p_1=\left(-14+2*sqrt\left(87\right)\right)/2$$ e $$p_2=\left(-14-2*sqrt\left(87\right)\right)/2$$

$$p_1=\left(-14+2*sqrt\left(87\right)\right)/2$$

$$p_1=\left(-14+2*sqrt\left(87\right)\right)/2$$

$$p_1=\left(-14+2*9,327\right)/2$$

$$p_1=\left(-14+2*9,327\right)/2$$

$$p_1=\left(-14+18,655\right)/2$$

$$p_1=\left(-14+18,655\right)/2$$

$$p_1=\left(4,655\right)/2$$

$$p_1=4,\frac{655}{2}$$

$$p_1=2,327$$

$$p_2=\left(-14-2*sqrt\left(87\right)\right)/2$$

$$p_2=\left(-14-2*9,327\right)/2$$

$$p_2=\left(-14-2*9,327\right)/2$$

$$p_2=\left(-14-18,655\right)/2$$

$$p_2=\left(-14-18,655\right)/2$$

$$p_2=\left(-32,655\right)/2$$

$$p_2=-32,\frac{655}{2}$$

$$p_2=-16,327$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -16,327, 2,327.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=1), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$p^2+14p-38<0$$ tem um sinal de desigualdade $$<$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$