Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{n}^2+bn+c\le 0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$n=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$n=\left(-1*-8\pm sqrt\left(-8^2-4*1*-15\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$n=\left(-1*-8\pm sqrt\left(64-4*1*-15\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$n=\left(-1*-8\pm sqrt\left(64-4*-15\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$n=\left(-1*-8\pm sqrt\left(64--60\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$n=\left(-1*-8\pm sqrt\left(64+60\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$n=\left(-1*-8\pm sqrt\left(124\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$n=\left(-1*-8\pm sqrt\left(124\right)\right)/\left(2\right)$$

$$n=\left(8\pm sqrt\left(124\right)\right)/2$$

para obter o resultado:

$$n=\left(8\pm sqrt\left(124\right)\right)/2$$

Simplificar $$124$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$124$$ é $$2^2\cdot 31$$

$$n=\left(8\pm 2*sqrt\left(31\right)\right)/2$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$n_1=\left(8+2*sqrt\left(31\right)\right)/2$$ e $$n_2=\left(8-2*sqrt\left(31\right)\right)/2$$

$$n_1=\left(8+2*sqrt\left(31\right)\right)/2$$

$$n_1=\left(8+2*sqrt\left(31\right)\right)/2$$

$$n_1=\left(8+2*5,568\right)/2$$

$$n_1=\left(8+2*5,568\right)/2$$

$$n_1=\left(8+11,136\right)/2$$

$$n_1=\left(8+11,136\right)/2$$

$$n_1=\left(19,136\right)/2$$

$$n_1=19,\frac{136}{2}$$

$$n_1=9,568$$

$$n_2=\left(8-2*sqrt\left(31\right)\right)/2$$

$$n_2=\left(8-2*5,568\right)/2$$

$$n_2=\left(8-2*5,568\right)/2$$

$$n_2=\left(8-11,136\right)/2$$

$$n_2=\left(8-11,136\right)/2$$

$$n_2=\left(-3,136\right)/2$$

$$n_2=-3,\frac{136}{2}$$

$$n_2=-1,568$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -1,568, 9,568.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=1), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$n^2-8n-15\le 0$$ tem um sinal de desigualdade $$\le$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$