Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{n}^2+bn+c\le 0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$n=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$n=\left(-7\pm sqrt\left(7^2-4*1*-20\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$n=\left(-7\pm sqrt\left(49-4*1*-20\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$n=\left(-7\pm sqrt\left(49-4*-20\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$n=\left(-7\pm sqrt\left(49--80\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$n=\left(-7\pm sqrt\left(49+80\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$n=\left(-7\pm sqrt\left(129\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$n=\left(-7\pm sqrt\left(129\right)\right)/\left(2\right)$$

para obter o resultado:

$$n=\left(-7\pm sqrt\left(129\right)\right)/2$$

Simplificar $$129$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$129$$ é $$3\cdot 43$$

$$n=\left(-7\pm sqrt\left(129\right)\right)/2$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$n_1=\left(-7+sqrt\left(129\right)\right)/2$$ e $$n_2=\left(-7-sqrt\left(129\right)\right)/2$$

$$n_1=\left(-7+sqrt\left(129\right)\right)/2$$

$$n_1=\left(-7+sqrt\left(129\right)\right)/2$$

$$n_1=\left(-7+11,358\right)/2$$

$$n_1=\left(-7+11,358\right)/2$$

$$n_1=\left(4,358\right)/2$$

$$n_1=4,\frac{358}{2}$$

$$n_1=2,179$$

$$n_2=\left(-7-sqrt\left(129\right)\right)/2$$

$$n_2=\left(-7-11,358\right)/2$$

$$n_2=\left(-7-11,358\right)/2$$

$$n_2=\left(-18,358\right)/2$$

$$n_2=-18,\frac{358}{2}$$

$$n_2=-9,179$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -9,179, 2,179.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=1), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$n^2+7n-20\le 0$$ tem um sinal de desigualdade $$\le$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$