Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{m}^2+bm+c\le 0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$m=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$m=\left(-1*-6\pm sqrt\left(-6^2-4*1*-53\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$m=\left(-1*-6\pm sqrt\left(36-4*1*-53\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$m=\left(-1*-6\pm sqrt\left(36-4*-53\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$m=\left(-1*-6\pm sqrt\left(36--212\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$m=\left(-1*-6\pm sqrt\left(36+212\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$m=\left(-1*-6\pm sqrt\left(248\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$m=\left(-1*-6\pm sqrt\left(248\right)\right)/\left(2\right)$$

$$m=\left(6\pm sqrt\left(248\right)\right)/2$$

para obter o resultado:

$$m=\left(6\pm sqrt\left(248\right)\right)/2$$

Simplificar $$248$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$248$$ é $$2^3\cdot 31$$

$$m=\left(6\pm 2*sqrt\left(62\right)\right)/2$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$m_1=\left(6+2*sqrt\left(62\right)\right)/2$$ e $$m_2=\left(6-2*sqrt\left(62\right)\right)/2$$

$$m_1=\left(6+2*sqrt\left(62\right)\right)/2$$

$$m_1=\left(6+2*sqrt\left(62\right)\right)/2$$

$$m_1=\left(6+2*7,874\right)/2$$

$$m_1=\left(6+2*7,874\right)/2$$

$$m_1=\left(6+15,748\right)/2$$

$$m_1=\left(6+15,748\right)/2$$

$$m_1=\left(21,748\right)/2$$

$$m_1=21,\frac{748}{2}$$

$$m_1=10,874$$

$$m_2=\left(6-2*sqrt\left(62\right)\right)/2$$

$$m_2=\left(6-2*7,874\right)/2$$

$$m_2=\left(6-2*7,874\right)/2$$

$$m_2=\left(6-15,748\right)/2$$

$$m_2=\left(6-15,748\right)/2$$

$$m_2=\left(-9,748\right)/2$$

$$m_2=-9,\frac{748}{2}$$

$$m_2=-4,874$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -4,874, 10,874.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=1), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$m^2-6m-53\le 0$$ tem um sinal de desigualdade $$\le$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram abaixo do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$