Solução - Resolver desigualdades quadráticas utilizando a fórmula quadrática

A fórmula quadrática dá-nos as raízes para $$a{m}^2+bm+c\ge 0$$, em que $$a$$, $$b$$ e $$c$$ são números (ou coeficientes), como indicado a seguir:

$$m=\left(-b\pm sqrt\left(b^2-4ac\right)\right)/\left(2a\right)$$

$$m=\left(-4\pm sqrt\left(4^2-4*1*-32\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$m=\left(-4\pm sqrt\left(16-4*1*-32\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$m=\left(-4\pm sqrt\left(16-4*-32\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$m=\left(-4\pm sqrt\left(16--128\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$m=\left(-4\pm sqrt\left(16+128\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$m=\left(-4\pm sqrt\left(144\right)\right)/\left(2*1\right)$$

$$m=\left(-4\pm sqrt\left(144\right)\right)/\left(2\right)$$

para obter o resultado:

$$m=\left(-4\pm sqrt\left(144\right)\right)/2$$

Simplificar $$144$$ ao encontrar os fatores primos:

A fatoração prima de $$144$$ é $$2^4\cdot 3^2$$

$$m=\left(-4\pm 12\right)/2$$

O ± significa que são possíveis duas raízes.

Separar as equações: $$m_1=\left(-4+12\right)/2$$ e $$m_2=\left(-4-12\right)/2$$

$$m_1=\left(-4+12\right)/2$$

$$m_1=\left(-4+12\right)/2$$

$$m_1=\left(8\right)/2$$

$$m_1=\frac{8}{2}$$

$$m_1=4$$

$$m_2=\left(-4-12\right)/2$$

$$m_2=\left(-4-12\right)/2$$

$$m_2=\left(-16\right)/2$$

$$m_2=-\frac{16}{2}$$

$$m_2=-8$$

Para encontrar os intervalos de uma desigualdade quadrática, começamos por encontrar a sua parábola.

As raízes da parábola (onde se cruza com o eixo -x) são: -8, 4.

Uma vez que o coeficiente $$a$$ é positivo ($$a$$=1), é uma desigualdade quadrática "positiva" e a parábola aponta para cima, como um sorriso!

Se o sinal de desigualdade é ≤ ou ≥, então os intervalos incluem as raízes e usamos uma linha sólida. Se o sinal de desigualdade é < ou > os intervalos não incluem as raízes e usamos uma linha tracejada.

Uma vez que $$m^2+4m-32\ge 0$$ tem um sinal de desigualdade $$\ge$$ procuramos os intervalos da parábola que se encontram acima do eixo -x.

Solução: $$$$

Notação de intervalo: $$$$